Shih burimin për Formula integrale e Cauchy

Në matematikë, '''formula integrale e Koshisë''', e emërtuar sipas [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]], është një pohim qendror në [[Analiza komplekse|analizën komplekse]] . Ai shpreh faktin se një [[Funksioni holomorfik|funksion holomorfik]] i përkufizuar në një disk përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në kufirin e diskut dhe ofron formula integrale për të gjithë derivatet e një funksioni holomorfik. Formula e Koshisë tregon se, në analizën komplekse, "diferencimi është i barabartë me integrimin": diferencimi kompleks, si integrimi, sillet mirë nën kufij uniformë – një rezultat që nuk vlen në analizën reale .

== Teorema ==
Le të jetë U një nëngrup i hapur i [[Aeroplan kompleks|rrafshit kompleks]] C, dhe supozojmë diskun e mbyllur D të përcaktuar si

: <math>D = \bigl\{z:|z - z_0| \leq r\bigr\}</math>

është përmbahet plotësisht në U . Le të jetë f : U → C të jetë një [[Funksioni holomorfik|funksion holomorfik]], dhe le të jetë γ [[rrethi]], i orientuar në të kundërt të akrepave të orës, duke formuar kufirin e D . Pastaj për çdo abshisë '''''a''''' në brendësi të diskut D,

: <math>f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz.\,</math>

Vërtetimi i këtij pohimi bëhet me anë të teoremës integrale të Koshisë dhe ashtu si ajo teoremë, kërkon vetëm që <math>f</math> të jetë [[Funksioni holomorfik|i diferencueshëm nën numrat kompleksë]]. Meqenëse <math>1/(z-a)</math> mund të zgjerohet si një seri fuqie në ndryshoren <math>a</math>

: <math>\frac{1}{z-a} = \frac{1+\frac{a}{z}+\left(\frac{a}{z}\right)^2+\cdots}{z}</math>

rrjedh se funksionet holomorfike janë analitike, pra mund të zgjerohen si seri konvergjente fuqish. Në veçanti <math>f</math> është në fakt pafundësisht i diferencueshëm, me

: <math>f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}\,dz.</math>

Kjo formulë nganjëherë quhet '''formula e diferencimit të Koshisë''' .

== Shembull ==
[[Skeda:ComplexResiduesExample.png|parapamje|328x328px| Sipërfaqja e pjesës reale të funksionit  <math>g(z)= \frac{z^2}{z^2+2z+1}</math>dhe polet e tij me konturet e përshkruara në tekst.]]
Konsiderohet funksioni i ndryshores komplekse

: <math>g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2},</math>

dhe le të jetë C konturi i përshkruar nga <math>|z|=2</math> (rrethi me rreze 2).

Për të gjetur integralin e <math>g(z)</math> rreth konturit <math>C</math>, duhet të dimë singularitetet e <math>g(z)</math> . Vini re se ne mund ta rishkruajmë g si më poshtë:

: <math>g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}</math>

ku <math>z_{1} = -1+i</math> dhe <math>z_{2}=-1-i</math>  .

Kështu, funksioni g ka pole në <math>z_{1}, z_{2}</math> . [[Vlera absolute|Modulet]] e këtyre pikave janë më pak se 2 dhe kështu shtrihen brenda konturit. Ky integral mund të ndahet në dy integrale më të vogla nga teorema Cauchy–Goursat ; domethënë, ne mund ta shprehim integralin rreth konturit si shumën e integralit rreth pikave <math>z_{1}</math> dhe <math>z_{2}</math> ku konturi është një rreth i vogël rreth çdo poli. Quajini këto konture <math>C_{1}</math> rreth <math>z_{1}</math> dhe <math>C_{2}</math> rreth <math>z_{2}</math> .

Tani, secili prej këtyre integraleve më të vogla mund të vlerësohet me formulën integrale të Cauchy, por ato së pari duhet të rishkruhen për të zbatuar teoremën. Për integralin rreth <math>C_{1}</math>, përkufizohet <math>f_{1}</math> si <math>f_1(z) = (z-z_{1})g(z) </math> . Kjo është [[Funksioni holomorfik|analitike]] (pasi konturi nuk përmban pol tjetër). Mund ta thjeshtojmë <math>f_{1} </math> që të jetë:

: <math>f_1(z)=\frac{z^2}{z-z_2}</math>

dhe tani

: <math>g(z)=\frac{f_1(z)}{z-z_1}.</math>

Meqenëse formula integrale e Koshisë thotë se:

: <math>\oint_C \frac{f_1(z)}{z-a}\, dz=2\pi i\cdot f_1(a),</math>

ne mund ta vlerësojmë integralin si më poshtë:

: <math>
 \oint_{C_1} g(z)\,dz
 =\oint_{C_1} \frac{f_1(z)}{z-z_1}\,dz
 =2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.
</math>

Duke bërë të njëjtën gjë për konturin tjetër:

: <math>f_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1},</math>

vlerësojmë

: <math>
 \oint_{C_2} g(z)\,dz
 =\oint_{C_2} \frac{f_2(z)}{z-z_2}\,dz
 =2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.
</math>

Atëherë integrali rreth konturit origjinal C është shuma e këtyre dy integraleve:

: <math>\begin{align}
   \oint_C g(z)\,dz
&{}= \oint_{C_1} g(z)\,dz
  + \oint_{C_2} g(z)\,dz \\[.5em]
&{}= 2\pi i\left(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1}\right) \\[.5em]
&{}= 2\pi i(-2) \\[.3em]
&{}=-4\pi i.
\end{align}</math>

Një manipulim elementar duke përdorur [[Zbërthimi i pjesshëm në thyesa|zbërthimin e pjesshëm të thyesave]] :

: <math>
 \oint_C g(z)\,dz
 =\oint_C \left(1-\frac{1}{z-z_1}-\frac{1}{z-z_2}\right) \, dz
 =0-2\pi i-2\pi i
 =-4\pi i
</math>
[[Kategoria:Analizë matematike]]