Formula integrale e Cauchy

Në matematikë, formula integrale e Koshisë, e emërtuar sipas Augustin-Louis Cauchy, është një pohim qendror në analizën komplekse . Ai shpreh faktin se një funksion holomorfik i përkufizuar në një disk përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në kufirin e diskut dhe ofron formula integrale për të gjithë derivatet e një funksioni holomorfik. Formula e Koshisë tregon se, në analizën komplekse, "diferencimi është i barabartë me integrimin": diferencimi kompleks, si integrimi, sillet mirë nën kufij uniformë – një rezultat që nuk vlen në analizën reale .

Teorema

Le të jetë U një nëngrup i hapur i rrafshit kompleks C, dhe supozojmë diskun e mbyllur D të përcaktuar si

$D=\{z:|z-z_0|\le r\}$

është përmbahet plotësisht në U . Le të jetë f : U → C të jetë një funksion holomorfik, dhe le të jetë γ rrethi, i orientuar në të kundërt të akrepave të orës, duke formuar kufirin e D . Pastaj për çdo abshisë a në brendësi të diskut D,

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz.$

Vërtetimi i këtij pohimi bëhet me anë të teoremës integrale të Koshisë dhe ashtu si ajo teoremë, kërkon vetëm që $f$ të jetë i diferencueshëm nën numrat kompleksë. Meqenëse $1/(z-a)$ mund të zgjerohet si një seri fuqie në ndryshoren $a$

$\frac{1}{z-a}=\frac{1+\frac{a}{z}+{\left(\frac{a}{z}\right)}^2+\cdots }{z}$

rrjedh se funksionet holomorfike janë analitike, pra mund të zgjerohen si seri konvergjente fuqish. Në veçanti $f$ është në fakt pafundësisht i diferencueshëm, me

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{{(z-a)}^{n+1}}dz.$

Kjo formulë nganjëherë quhet formula e diferencimit të Koshisë .

Shembull

Sipërfaqja e pjesës reale të funksionit $g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+1}$dhe polet e tij me konturet e përshkruara në tekst.

Konsiderohet funksioni i ndryshores komplekse

$g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2},$

dhe le të jetë C konturi i përshkruar nga $|z|=2$ (rrethi me rreze 2).

Për të gjetur integralin e $g(z)$ rreth konturit $C$, duhet të dimë singularitetet e $g(z)$ . Vini re se ne mund ta rishkruajmë g si më poshtë:

$g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}$

ku $z_1=-1+i$ dhe $z_2=-1-i$ .

Kështu, funksioni g ka pole në $z_1,z_2$ . Modulet e këtyre pikave janë më pak se 2 dhe kështu shtrihen brenda konturit. Ky integral mund të ndahet në dy integrale më të vogla nga teorema Cauchy–Goursat ; domethënë, ne mund ta shprehim integralin rreth konturit si shumën e integralit rreth pikave $z_1$ dhe $z_2$ ku konturi është një rreth i vogël rreth çdo poli. Quajini këto konture $C_1$ rreth $z_1$ dhe $C_2$ rreth $z_2$ .

Tani, secili prej këtyre integraleve më të vogla mund të vlerësohet me formulën integrale të Cauchy, por ato së pari duhet të rishkruhen për të zbatuar teoremën. Për integralin rreth $C_1$, përkufizohet $f_1$ si $f_1(z)=(z-z_1)g(z)$ . Kjo është analitike (pasi konturi nuk përmban pol tjetër). Mund ta thjeshtojmë $f_1$ që të jetë:

$f_1(z)=\frac{z^2}{z-z_2}$

dhe tani

$g(z)=\frac{f_1(z)}{z-z_1}.$

Meqenëse formula integrale e Koshisë thotë se:

${\oint }_C\frac{f_1(z)}{z-a}dz=2\pi i\cdot f_1(a),$

ne mund ta vlerësojmë integralin si më poshtë:

${\oint }_{C_1}g(z)dz={\oint }_{C_1}\frac{f_1(z)}{z-z_1}dz=2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.$

Duke bërë të njëjtën gjë për konturin tjetër:

$f_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1},$

vlerësojmë

${\oint }_{C_2}g(z)dz={\oint }_{C_2}\frac{f_2(z)}{z-z_2}dz=2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.$

Atëherë integrali rreth konturit origjinal C është shuma e këtyre dy integraleve:

$\begin{array}{cc}{\oint }_{C}g(z)dz& ={\oint }_{C_1}g(z)dz+{\oint }_{C_2}g(z)dz\\ & =2\pi i(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1})\\ & =2\pi i(-2)\\ & =-4\pi i.\end{array}$

Një manipulim elementar duke përdorur zbërthimin e pjesshëm të thyesave :

${\oint }_{C}g(z)dz={\oint }_C(1-\frac{1}{z-z_1}-\frac{1}{z-z_2})dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i$