Shih burimin për Identiteti i Beltramit

'''Identiteti i Beltramit''' është një identitet në [[Analiza e variacionit|analizën e variacionit]].  Ai pohon se një funksion ''u'' i cili është një ekstremal i integralit

:<math>I(u)=\int_a^b f(x,u,u') \, dx</math>

kënaq ekuacionin diferencial

:<math>
\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right)-\frac{\partial f}{\partial x}=0.
</math>

== Prova ==
[[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit]] na thotë se

:<math>
\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u'}=0.
</math>

Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit <math>f(x,u,u')</math>. Duke zëvendësuar [[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit|ekuacionin e Ojler-Lagranzhit]] në të, ne marrim

:<math>
\begin{align}
\frac{df}{dx} &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial u} u' + u'' \frac{\partial f}{\partial u'} \\
& = \frac{\partial f}{\partial x} +  u' \left(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u'}\right) +  u'' \frac{\partial f}{\partial u'}.
\end{align}
</math>

Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'.  Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek <math>\frac{d}{dx}\left(u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right)</math> ne drejtim te kundërt.

Rezultati mund të rirregullohet si:
:<math>
\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right)-\frac{\partial f}{\partial x}=0.
</math>

== Zbatime ==
Në rastin kur funksionali ''f'' është i pavarur nga ''x'', atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në 

:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right) &=0 \\
f-u'\frac{\partial f}{\partial u'} &= \text{constant} \\
\end{align}
</math>

Ana e djathte e këtij ekuacioni është [[transformimi i Lezhandrit (Legendres)|transformimi i Lazhandrit]] i f ne lidhje me u '.

Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i [[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit|ekuacionit te Ojler-Lagranzhit]].

[[Kategori:Analizë matematike]]