Identiteti i Beltramit

Identiteti i Beltramit është një identitet në analizën e variacionit. Ai pohon se një funksion u i cili është një ekstremal i integralit

$I(u)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,u,u^{\prime })dx$

kënaq ekuacionin diferencial

$\frac{d}{dx}(f-u^{\prime }\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }})-\frac{\partial f}{\partial x}=0.$

Prova

Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit na thotë se

$\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}=0.$

Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit $f(x,u,u^{\prime })$. Duke zëvendësuar ekuacionin e Ojler-Lagranzhit në të, ne marrim

$\begin{array}{cc}\frac{df}{dx}& =\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}{u}^{\prime }+u^{″}\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}\\ & =\frac{\partial f}{\partial x}+u^{\prime }\left(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}\right)+u^{″}\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}.\end{array}$

Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'. Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek $\frac{d}{dx}\left(u^{\prime }\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}\right)$ ne drejtim te kundërt.

Rezultati mund të rirregullohet si:

$\frac{d}{dx}(f-u^{\prime }\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }})-\frac{\partial f}{\partial x}=0.$

Zbatime

Në rastin kur funksionali f është i pavarur nga x, atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(f-u^{\prime }\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }})& =0\\ f-u^{\prime }\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }}& =\text{constant}\\ \end{array}$

Ana e djathte e këtij ekuacioni është transformimi i Lazhandrit i f ne lidhje me u '.

Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i ekuacionit te Ojler-Lagranzhit.