Shih burimin për Integrali i pacaktuar

[[Skeda:Slope_Field.png|parapamje| Fusha e pjerrësisë së <math>F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + c</math>, duke treguar tre nga zgjidhjet e pafundme që mund të prodhohen duke ndryshuar konstanten arbitrare c .]]
Në kalkulus, një '''funksion primitivë''', '''integral i pacaktuar''' ose '''antiderivat''' i një [[Funksioni i vazhdueshëm|funksioni të vazhdueshëm]] f është një [[Funksioni i diferencueshëm|funksion i diferencueshëm]] F, [[derivati]] i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal f . Kjo mund të shprehet simbolikisht si F'  = f . <ref>{{Cite book |last=Stewart |first=James |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 |title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=[[Brooks/Cole]] |year=2008 |isbn=978-0-495-01166-8 |edition=6th |author-link=James Stewart (mathematician) |url-access=registration}}</ref> <ref>{{Cite book |last=Larson |first=Ron |title=Calculus |last2=Edwards |first2=Bruce H. |publisher=[[Brooks/Cole]] |year=2009 |isbn=978-0-547-16702-2 |edition=9th |author-link=Ron Larson (mathematician)}}</ref> Procesi i zgjidhjes së integraleve të pacaktuara quhet '''antidiferencim''' (ose '''integrim i pacaktuar''' ), dhe veprimi i kundërt i tij quhet ''diferencim'', që është procesi i gjetjes së një derivati. Integralet e pacaktuara shpesh shënohen me [[Shkrimi latin|shkronja të mëdha romake]] si F dhe G

Antiderivativët lidhen me [[Integrali|integralet e caktuara]] përmes [[Teorema themelore e njehsimit|teoremës së dytë themelore të kalkulusit]] : integrali i caktuar i një funksioni në një [[Intervali (matematikë)|interval të mbyllur]] ku funksioni është i integrueshëm sipas Rimanit është i barabartë me ndryshesën midis vlerave të një integrali të pacaktuar të vlerësuar në pikat e skajeve të intervalit.

Në [[Fizika|fizikë]], integralet e pacaktuara lindin në kontekstin e [[Lëvizja drejtvizore e njëtrajtshme|lëvizjes drejtvizore]] (p.sh., në shpjegimin e marrëdhënies midis [[Pozicioni (fizikë)|vendodhja]], [[Shpejtësia (fizikë)|shpejtësisë]] dhe [[Nxitimi|nxitimit]] ). <ref name=":1">{{Cite web |date=2017-04-27 |title=4.9: Antiderivatives |url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_Calculus__Early_Transcendentals_(Stewart)/04%3A_Applications_of_Differentiation/4.09%3A_Antiderivatives |access-date=2020-08-18 |website=Mathematics LibreTexts |language=en}}</ref> I njëvlershmi [[Matematika diskrete|diskret]] i nocionit të integralit të pacaktuar është [[antidiferenca]] .

== Shembuj ==
Funksioni <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}</math> është integrali i pacaktuar i <math>f(x) = x^2</math>, meqënëse derivati i <math>\tfrac{x^3}{3}</math> është <math>x^2</math>. Meqënëse derivati i një konstanteje ja [[0 (numër)|zero]], <math>x^2</math> do të ketë një numër të pafundëm integralesh të pacaktuara të trajtës: <math>\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2</math>, etc. Kështu, të gjithë integralet e pacaktuar <math>x^2</math> mund të përftohen duke ndryshuar vlerën e {{math|''c''}} në <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c</math>, ku {{math|''c''}} është një konstante arbitrare e njohur si konstantja e integrimit.

Më në përgjithësi, funksioni i fuqisë <math>f(x) = x^n</math> ka integral të pacaktuar <math>F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c</math> nëse n ≠ − 1, dhe <math>F(x) = \ln |x| + c</math> nëse n = − 1 .

Në [[Fizika|fizikë]], integrimi i [[Nxitimi|nxitimit]] jep [[Shpejtësia (fizikë)|shpejtësi]] plus një konstante. Konstantja është termi fillestar i shpejtësisë (v<sub>0</sub>) që do të humbiste me marrjen e derivatit të shpejtësisë, sepse derivati i një termi konstant është zero. I njëjti model vlen për integrimet dhe derivatet e mëtejshme të lëvizjes (pozicioni, shpejtësia, nxitimi, etj.). <ref name=":1">{{Cite web |date=2017-04-27 |title=4.9: Antiderivatives |url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_Calculus__Early_Transcendentals_(Stewart)/04%3A_Applications_of_Differentiation/4.09%3A_Antiderivatives |access-date=2020-08-18 |website=Mathematics LibreTexts |language=en}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true">[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Map%3A_Calculus__Early_Transcendentals_(Stewart)/04%3A_Applications_of_Differentiation/4.09%3A_Antiderivatives "4.9: Antiderivatives"]. ''Mathematics LibreTexts''. 2017-04-27<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2020-08-18</span></span>.</cite></ref> Kështu, integrimi prodhon marrëdhëniet e nxitimit, shpejtësisë dhe [[Zhvendosja (fizikë)|zhvendosjes]] : <math display="block">\begin{align}
\int a \, \mathrm{d}t &= v + C \\
\int v \, \mathrm{d}t &= s + C
\end{align}</math>

== Përdorimet dhe vetitë ==
Integralet e pacaktuara mund të përdoren për [[Integrali|të llogaritur integrale të caktuara]], duke përdorur [[Teorema themelore e njehsimit|teoremën themelore të analizës matematike]] : nëse F është një primitivë e [[Funksioni i vazhdueshëm|funksionit të vazhdueshëm]] f gjatë intervalit <math>[a,b]</math>, pastaj: <math display="block">\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).</math>

Për shkak të kësaj, secili prej integraleve të pacaktuar pafundësisht të shumtë të një funksioni të caktuar f mund të quhet "integrali i pacaktuar" i ''f'' dhe të shkruhet duke përdorur simbolin integral pa kufij: <math display="block">\int f(x)\,\mathrm{d}x.</math>

Çdo [[Funksioni i vazhdueshëm|funksion i vazhdueshëm]] f ka një integral të pacaktuar, dhe një integral i pacaktuar F jepet nga integrali i caktuar i f me kufirin e sipërm të ndryshueshëm: <math display="block">F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t ~,</math> për çdo a në BP e f . Ndryshimi i kufirit të poshtëm prodhon antiderivativë të tjerë, por jo domosdoshmërisht të gjithë integralet e pacaktuara të mundshme. Ky është një formulim tjetër i [[Teorema themelore e njehsimit|teoremës themelore të llogaritjes]] .

Ka shumë funksione, integralet e pacaktuara e të cilëve, edhe pse ekzistojnë, nuk mund të shprehen me [[Funksioni elementar|funksione elementare]] (si [[polinomet]], [[Funksioni eksponencial|funksionet eksponenciale]], [[logaritmet]], [[funksionet trigonometrike]], [[funksionet inverse trigonometrike|funksionet e anasjellta trigonometrike]] dhe kombinimet e tyre). Shembuj të tillë janë

 {{div col}}
* [[Funksioni i gabimit]] <math display="block">\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,</math>
* [[Funksioni i Fresnelit]] <math display="block">\int \sin x^2\,\mathrm{d}x,</math>
* [[Integrali Sinc]] <math display="block">\int \frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,</math>
* [[Funksioni integral logaritmik]] <math display="block">\int\frac{1}{\log x}\,\mathrm{d}x,</math> dhe
* [[Ëndrra e vitparistit]] <math display="block">\int x^{x}\,\mathrm{d}x.</math>
{{div col end}}

== Formulat bazë ==

* Nëse <math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x) = g(x)</math>, atëherë <math>\int g(x) \mathrm{d}x = f(x) + C</math>.
* <math>\int 1\ \mathrm{d}x = x + C</math>
* <math>\int a\ \mathrm{d}x = ax + C</math>
* <math>\int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C;\ n \neq -1</math>
* <math>\int \sin{x}\ \mathrm{d}x = -\cos{x} + C</math>
* <math>\int \cos{x}\ \mathrm{d}x = \sin{x} + C</math>
* <math>\int \sec^2{x}\ \mathrm{d}x = \tan{x} + C</math>
* <math>\int \csc^2{x}\ \mathrm{d}x = -\cot{x} + C</math>
* <math>\int \sec{x}\tan{x}\ \mathrm{d}x = \sec{x} + C</math>
* <math>\int \csc{x}\cot{x}\ \mathrm{d}x = -\csc{x} + C</math>
* <math>\int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \ln|x| + C</math>
* <math>\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{e}^{x} + C</math>
* <math>\int a^{x} \mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C;\ a > 0,\ a \neq 1</math>
* <math>\int \frac{1}\sqrt{a^2 - x^2}\ \mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C</math>
* <math>\int \frac{1}{a^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C</math>

== Shihni gjithashtu ==

* [[Antiderivativ (analizë komplekse)]]
* [[Seritë formale potenciale|Antiderivativi formal]]
* [[Integrali Jackson|Jackson integral]]
* Listat e integraleve
* Integrimi simbolik
* [[Sipërfaqja|Zona]]