Integrali i pacaktuar

Fusha e pjerrësisë së $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+c$, duke treguar tre nga zgjidhjet e pafundme që mund të prodhohen duke ndryshuar konstanten arbitrare c .

Në kalkulus, një funksion primitivë, integral i pacaktuar ose antiderivat i një funksioni të vazhdueshëm f është një funksion i diferencueshëm F, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal f . Kjo mund të shprehet simbolikisht si F' = f . Procesi i zgjidhjes së integraleve të pacaktuara quhet antidiferencim (ose integrim i pacaktuar ), dhe veprimi i kundërt i tij quhet diferencim, që është procesi i gjetjes së një derivati. Integralet e pacaktuara shpesh shënohen me shkronja të mëdha romake si F dhe G

Antiderivativët lidhen me integralet e caktuara përmes teoremës së dytë themelore të kalkulusit : integrali i caktuar i një funksioni në një interval të mbyllur ku funksioni është i integrueshëm sipas Rimanit është i barabartë me ndryshesën midis vlerave të një integrali të pacaktuar të vlerësuar në pikat e skajeve të intervalit.

Në fizikë, integralet e pacaktuara lindin në kontekstin e lëvizjes drejtvizore (p.sh., në shpjegimin e marrëdhënies midis vendodhja, shpejtësisë dhe nxitimit ). I njëvlershmi diskret i nocionit të integralit të pacaktuar është antidiferenca .

Shembuj

Funksioni $F(x)=\frac{x^3}{3}$ është integrali i pacaktuar i $f(x)=x^2$, meqënëse derivati i $\frac{x^3}{3}$ është $x^2$. Meqënëse derivati i një konstanteje ja zero, $x^2$ do të ketë një numër të pafundëm integralesh të pacaktuara të trajtës: $\frac{x^3}{3},\frac{x^3}{3}+1,\frac{x^3}{3}-2$, etc. Kështu, të gjithë integralet e pacaktuar $x^2$ mund të përftohen duke ndryshuar vlerën e Stampa:Math në $F(x)=\frac{x^3}{3}+c$, ku Stampa:Math është një konstante arbitrare e njohur si konstantja e integrimit.

Më në përgjithësi, funksioni i fuqisë $f(x)=x^n$ ka integral të pacaktuar $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ nëse n ≠ − 1, dhe $F(x)=\ln |x|+c$ nëse n = − 1 .

Në fizikë, integrimi i nxitimit jep shpejtësi plus një konstante. Konstantja është termi fillestar i shpejtësisë (v₀) që do të humbiste me marrjen e derivatit të shpejtësisë, sepse derivati i një termi konstant është zero. I njëjti model vlen për integrimet dhe derivatet e mëtejshme të lëvizjes (pozicioni, shpejtësia, nxitimi, etj.). Kështu, integrimi prodhon marrëdhëniet e nxitimit, shpejtësisë dhe zhvendosjes : $$\begin{array}{cc}\int a\mathrm{d}t& =v+C\\ \int v\mathrm{d}t& =s+C\end{array}$$

Përdorimet dhe vetitë

Integralet e pacaktuara mund të përdoren për të llogaritur integrale të caktuara, duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike : nëse F është një primitivë e funksionit të vazhdueshëm f gjatë intervalit $[a,b]$, pastaj: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

Për shkak të kësaj, secili prej integraleve të pacaktuar pafundësisht të shumtë të një funksioni të caktuar f mund të quhet "integrali i pacaktuar" i f dhe të shkruhet duke përdorur simbolin integral pa kufij: $$\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Çdo funksion i vazhdueshëm f ka një integral të pacaktuar, dhe një integral i pacaktuar F jepet nga integrali i caktuar i f me kufirin e sipërm të ndryshueshëm: $$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t,$$ për çdo a në BP e f . Ndryshimi i kufirit të poshtëm prodhon antiderivativë të tjerë, por jo domosdoshmërisht të gjithë integralet e pacaktuara të mundshme. Ky është një formulim tjetër i teoremës themelore të llogaritjes .

Ka shumë funksione, integralet e pacaktuara e të cilëve, edhe pse ekzistojnë, nuk mund të shprehen me funksione elementare (si polinomet, funksionet eksponenciale, logaritmet, funksionet trigonometrike, funksionet e anasjellta trigonometrike dhe kombinimet e tyre). Shembuj të tillë janë

• Funksioni i gabimit $$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x,$$
• Funksioni i Fresnelit $$\int \sin x^2\mathrm{d}x,$$
• Integrali Sinc $$\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x,$$
• Funksioni integral logaritmik $$\int \frac{1}{\log x}\mathrm{d}x,$$ dhe
• Ëndrra e vitparistit $$\int x^x\mathrm{d}x.$$

Formulat bazë

• Nëse $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=g(x)$, atëherë $\int g(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$.
• $\int 1\mathrm{d}x=x+C$
• $\int a\mathrm{d}x=ax+C$
• $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C;n\ne -1$
• $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$
• $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$
• $\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C$
• $\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C$
• $\int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C$
• $\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C$
• $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$
• $\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x+C$
• $\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C;a>0,a\ne 1$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C$
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$

Shihni gjithashtu

• Antiderivativ (analizë komplekse)
• Antiderivativi formal
• Jackson integral
• Listat e integraleve
• Integrimi simbolik
• Zona