Shih burimin për Lëkundjet e membranës elastike

[[Image:Drum vibration mode12.gif|thumb|right|200px|Një nga shumë mënyrat e mundshme të vibrimit të një [[daullja|daulleje]] rrethore ideale (moda <math>u_{12}</math> me notacionin e mëposhtëm).  Mënyra të tjera tregohen në fund të artikullit.]]

[[Vibrimi|Vibrimet]] e një [[daullja|daulleje]] rrethore ideale, e cila konsiston prej një [[membrane]] elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të [[Ekuacioni i valës|ekuacionit të valës]] me [[Kondita kufitare Dirishleti|kondita kufitare zero]].

Ekziston një numër i pafundmë mënyrash sipas të cilave një daulleje mund të vibrojë, në varësi të formës së daulles në një kohë fillestare, dhe [[derivati|shpejtësisë së ndryshimit]] të formës së daulles në një kohë fillestare.  Duke përdorur metodën e [[Ndarja e variablave|ndarjes së variablave]], është e mundur të gjehet një koleksion i "thjeshtë" mënyrash vibrimi, si dhe mund të provohet se çdo vibrim sado kompleks i daulles mund të dekompozohet si një kombinim linear i vibrimeve më të thjeshta.

== Problemi ==
Konsideroni një [[disk i hapur|disk të hapur]] <math>\Omega</math> me rreze <math>a</math> me qendër në origjinën e daulles, i cili përfaqëson formën e ''fiksuar'' të daulles.  Në çdo kohë <math>t,</math> lartësia e formës së daulles tek një pikë <math>(x, y)</math> në <math>\Omega</math> e matur nga forma e "fiksuar" do të jepet nga <math>u(x, y, t),</math> e cila mund të merret me vlera pozitive ose negative.  Le <math>\partial \Omega</math> të përfaqësojë [[kufiri (topologji)|kufirin]] e <math>\Omega,</math> pra, rrethi me rreze <math>a</math> me qendër në origjinë, e cila përfaqëson një kornizë të palëvizshme në të cilën membrana e daulles është e fiksuar.

Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,

: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \text{ per }(x, y) \in \Omega \,</math>

: <math>u = 0\text{ nga }\partial \Omega.\,</math>

Këtu, <math>c</math> është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.

Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i [[Koordinata polare|koordinatave polare]], <math>r</math> dhe <math>\theta.</math>  Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\right) \text{ for } 0 \le r < a, 0 \le \theta \le 2\pi\,</math>

: <math>u = 0\text{ per } r=a.\,</math>

== Rasti me simetri rrezore ==
Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore.  Në këtë rast, funksioni <math>u</math> nuk varet tek këndi <math>\theta,</math> kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën

:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right) .</math>

Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave, <math>u(r, t) = R(r)T(t).</math>  Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me <math>c^2R(r)T(t)</math> marrim

: <math>\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{1}{R(r)}\left(R''(r) + \frac{1}{r}R'(r)\right).</math>

Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek <math>r,</math> dhe ana e djathte nuk varet tek <math>t,</math> kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante <math>K.</math>  Marrim kështu dy ekuacione për <math>T(t)</math> dhe <math>R(r)</math> :

: <math>T''(t) = Kc^2T(t) \,</math>
: <math>rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,</math>

Ekuacioni për <math>T(t)</math> ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogëlohen në mënyre eksponenciale për <math>K>0,</math> janë lineare ose konstante për <math>K=0,</math> dhe janë periodike për <math>K<0.</math>  Fizikisht pritet që zgjidhja e problemit të daulles vibruese të jetë oshiluese në kohë, kështu që kjo lë vetëm rastin e tretë, <math>K<0,</math> kur <math>K=-\lambda^2</math> për një numër <math>\lambda>0.</math>  Atëherë, <math>T(t)</math> është një kombinim linear i funksioneve sinus dhe kosinus,

: <math>T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, </math>

Duke u kthyer tek rasti i përgjithshëm për <math>R(r),</math> me observimin që <math>K=-\lambda^2,</math> dhe te gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni diferencial të rendit të dytë janë kombinime lineare të [[Funksioni Bezel|funksioneve Bezel]] të rendit 0,

:<math>R(r) = c_1 J_0(\lambda r)+ c_2 Y_0(\lambda r).\,</math>

Funksioni Bezel <math>Y_0</math> nuk ka kufi për <math>r\to 0,</math> kështu që kjo rezulton në një zgjidhje pa kuptim fizik për daullen vibruese, kjo do të thotë se konstantja <math>c_2</math> duhet të jetë zero.  Gjithashtu do supozojmë se <math>c_1=1,</math> sepse kjo konstante mund të absorbohet lehte ne ndonjë konstante tjetër më vonë <math>A</math> dhe <math>B</math> që vinë nga <math>T(t).</math>  Nga kjo del që

: <math>R(r) = J_0(\lambda r).</math>

Kërkesa që lartësia <math>u</math> e membranës të jetë zero tek kufiri i daulles rezulton në konditën

: <math>R(a) = J_0(\lambda a) = 0.</math>

Funksioni Bezel <math>J_0</math> ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,

: <math>0< \alpha_{01} < \alpha_{02} < \cdots</math>

Nga kjo marrim <math>\lambda a=\alpha_{0n},</math> për <math>n=1, 2, \dots, </math> kështu që

: <math>R(r) = J_0\left(\frac{\alpha_{0n}}{a}r\right).</math>

Pra, zgjidhjet me simetri rrezore <math>u</math> te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë

: <math>u_{0n}(r, t) = \left(A\cos c\lambda_{0n} t + B\sin  c\lambda_{0n} t\right)J_0\left(\lambda_{0n} r\right)</math> for <math>n=1, 2, \dots, \, </math>

ku <math>\lambda_{0n} = \alpha_{0n}/a.</math>

== Rasti i përgjithshëm ==
Rasti i përgjithshëm, ku <math>u</math> varet edhe tek këndi <math>\theta,</math> trajtohet në një mënyre shumë të ngjashme.  Tani supozojmë se ekziston një zgjedhje ku variablat mund të ndahen,

: <math>u(r, \theta, t) = R(r)\Theta(\theta)T(t).\,</math>

Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim

: <math>\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=K</math>

ku <math>K</math> është një konstante.  Si më parë, nga ekuacioni për <math>T(t)</math> del që <math>K=-\lambda^2</math> me <math>\lambda>0</math> dhe

: <math>T(t)=A\cos c\lambda t + B\sin c \lambda t.\, </math>

Nga ekuacioni

: <math>\frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{R'(r)}{rR(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{r^2\Theta(\theta)}=-\lambda^2</math>

marrim, duke shumëzuar të dyja anët me <math>r^2</math> dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim

: <math>\lambda^2r^2+\frac{r^2R''(r)}{R(r)}+\frac{rR'(r)}{R(r)}=L</math>

dhe

: <math>-\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=L,</math>

për një konstante <math>L.</math> Since <math>\Theta(\theta)</math> është periodike, me periodë <math>2\pi,</math> <math>\theta</math> e cila është një variabël këndore, nga kjo del që

: <math>\Theta(\theta)=C\cos m\theta + D \sin m\theta,\, </math>

ku <math>m=0, 1, \dots </math> dhe <math>C</math> dhe <math>D</math> janë disa konstante.  Kjo implikon që <math>L=m^2.</math>

Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për <math>R(r),</math> zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i [[Funksioni Bezel|funksioneve Bezel]] <math>J_m</math> dhe <math>Y_m.  </math> Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek

: <math>R(r) = J_m(\lambda_{mn}r),\,</math> <math>m=0, 1, \dots,</math> <math>n=1, 2, \dots,</math>

ku <math>\lambda_{mn}=\alpha_{mn}/a,</math> me <math>\alpha_{mn}</math> e cila është rrënja pozitive e <math>n</math>-te e <math>J_m.</math>

Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës

: <math>u_{mn}(r, \theta, t) = \left(A\cos c\lambda_{mn} t + B\sin  c\lambda_{mn} t\right)J_m\left(\lambda_{mn} r\right)(C\cos m\theta + D \sin m\theta)</math>

për <math>m=0, 1, \dots, n=1, 2, \dots</math>.

== Shënim ==
Duhet theksuar se zgjidhja e mëlartme merr parasysh disa supozime ideale të cilat janë të inkarnuara në ekuacionin e valës.  Një simulim kompjuterik i problemit te mësipërm do të ketë një gabim të caktuar (zakonisht rreth 5 %) në varësi te metodës së përdorur.

== Animime të disa modave të vibrimit ==

<center>
<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode01.gif|Moda <math>u_{01}</math>
Image:Drum vibration mode02.gif|Moda <math>u_{02}</math>
Image:Drum vibration mode03.gif|Moda <math>u_{03}</math>
</gallery>

<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode11.gif|Moda <math>u_{11}</math>
Image:Drum vibration mode12.gif|Moda <math>u_{12}</math>
Image:Drum vibration mode13.gif|Moda <math>u_{13}</math>
</gallery>

<gallery widths="200px">
Image:Drum vibration mode21.gif|Moda <math>u_{21}</math>
Image:Drum vibration mode22.gif|Moda <math>u_{22}</math>
Image:Drum vibration mode23.gif|Moda <math>u_{23}</math>
</gallery>
</center>

== Shikoni gjithashtu ==
* [[Dëgjimi i formës së daulles]]
* [[Korda vibruese]]

==Referime==

* {{Cite book | author=H. Asmar, Nakhle | title=Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems | url=https://archive.org/details/partialdifferent00asma | date=2005 | publisher=Pearson Prentice Hall | location=Upper Saddle River, N.J.  | isbn=0-13-148096-0 | pages= [https://archive.org/details/partialdifferent00asma/page/n206 198]}}

[[Kategoria:Ekuacione diferenciale]]
[[Kategoria:Vibrimet mekanike]]
[[Kategoria:Mekanikë]]