Shih burimin për Largësia totale e variacionit të masave të probabilitetit

[[Skeda:Total_variation_distance.svg|parapamje|250x250px| Distanca totale e variacionit është gjysma e zonës absolute midis dy kurbave: Gjysma e zonës së hijezuar sipër.]]
Në [[Teoria e probabilitetit|teorinë e probabilitetit]], '''distanca totale e variacionit''' është një masë e largësisë për shpërndarjet e probabilitetit. Është një shembull i një metrike [[Distanca statistikore|të largësisë statistikore]] dhe nganjëherë quhet '''largësia statistikore''', '''ndryshesa statistikore''' ose '''largësia variacionale''' .

== Përkufizimi ==
Konsideroni një hapësirë të matshme <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> dhe masat e probabilitetit <math>P</math> dhe <math>Q</math> përcaktuar më <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> . Largësia totale e variacionit ndërmjet <math>P</math> dhe <math>Q</math> përkufizohet si <ref name="Chatterjee2007">{{Cite web |last=Chatterjee |first=Sourav |title=Distances between probability measures |url=http://www.stat.berkeley.edu/~sourav/Lecture2.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20080708205758/http://www.stat.berkeley.edu/%7Esourav/Lecture2.pdf |archive-date=8 korrik 2008 |access-date=21 qershor 2013 |publisher=UC Berkeley}}</ref>

: <math>\delta(P,Q)=\sup_{ A\in \mathcal{F}}\left|P(A)-Q(A)\right|.</math>

Kjo është ndryshesa absolute më e madhe midis probabiliteteve që dy [[Shpërndarja e probabilitetit|shpërndarjet e probabilitetit]] i caktojnë të njëjtës ngjarje.

== Vetitë ==
Largësia totale e variacionit është një divergjencë <nowiki><i id="mwJg">f</i></nowiki> dhe një metrikë integrale e probabilitetit .

=== Lidhja me largësitë e tjera ===
Largësia totale e variacionit lidhet me [[Divergjenca Kullback–Leibler|divergjencën Kullback-Leibler]] nga mosbarazimi i Pinsker -it:

: <math>\delta(P,Q) \le \sqrt{\frac{1}{2} D_{\mathrm{KL}}(P\parallel Q)}.</math>

Gjithashtu merret mosbarazimi i mëposhtëm, për shkak të Bretagnolle dhe Huber <ref>Bretagnolle, J.; Huber, C, ''Estimation des densités: risque minimax'', Séminaire de Probabilités, XII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1976/1977), pp. 342–363, Lecture Notes in Math., 649, Springer, Berlin, 1978, Lemma 2.1 (French).</ref> (shih gjithashtu  ), e cila ka avantazhin e sigurimit të një kufiri jo vakuoz edhe kur <math>\textstyle D_{\mathrm{KL}}(P\parallel Q)>2\colon</math>

: <math>\delta(P,Q) \le \sqrt{1-e^{ -D_{\mathrm{KL}}(P\parallel Q) }}.</math>

Largësia totale e variacionit është gjysma e largësia L <nowiki><sup id="mwOw">1</sup></nowiki> midis funksioneve të probabilitetit: në domene diskrete, kjo është largësia midis [[Funksioni i masës së probabilitetit|funksioneve të masës së probabilitetit]] <ref>David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, ''[[Markov Chains and Mixing Times]]'', 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.</ref>

: <math>\delta(P, Q) = \frac12 \sum_{x} |P(x) - Q(x)|,</math>

dhe kur shpërndarjet kanë [[Funksioni i dendësisë së probabilitetit|funksione standarde të densitetit të probabilitetit]] p dhe q, <ref>{{Cite book |last=Tsybakov |first=Aleksandr B. |title=Introduction to nonparametric estimation |date=2009 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-79051-0 |edition=rev. and extended version of the French Book |location=New York, NY |at=Lemma 2.1}}</ref>

: <math>\delta(P, Q) = \frac12 \int | p(x) - q(x) | \, \mathrm{d}x</math>