Largësia totale e variacionit të masave të probabilitetit

Distanca totale e variacionit është gjysma e zonës absolute midis dy kurbave: Gjysma e zonës së hijezuar sipër.

Në teorinë e probabilitetit, distanca totale e variacionit është një masë e largësisë për shpërndarjet e probabilitetit. Është një shembull i një metrike të largësisë statistikore dhe nganjëherë quhet largësia statistikore, ndryshesa statistikore ose largësia variacionale .

Përkufizimi

Konsideroni një hapësirë të matshme $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ dhe masat e probabilitetit $P$ dhe $Q$ përcaktuar më $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ . Largësia totale e variacionit ndërmjet $P$ dhe $Q$ përkufizohet si

$\delta (P,Q)=\underset{A\in ℱ}{\sup }|P(A)-Q(A)|.$

Kjo është ndryshesa absolute më e madhe midis probabiliteteve që dy shpërndarjet e probabilitetit i caktojnë të njëjtës ngjarje.

Vetitë

Largësia totale e variacionit është një divergjencë <i id="mwJg">f</i> dhe një metrikë integrale e probabilitetit .

Lidhja me largësitë e tjera

Largësia totale e variacionit lidhet me divergjencën Kullback-Leibler nga mosbarazimi i Pinsker -it:

$\delta (P,Q)\le \sqrt{\frac{1}{2}{D}_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\parallel Q)}.$

Gjithashtu merret mosbarazimi i mëposhtëm, për shkak të Bretagnolle dhe Huber (shih gjithashtu ), e cila ka avantazhin e sigurimit të një kufiri jo vakuoz edhe kur $D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\parallel Q)>2:$

$\delta (P,Q)\le \sqrt{1-e^{-D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(P\parallel Q)}}.$

Largësia totale e variacionit është gjysma e largësia L <sup id="mwOw">1</sup> midis funksioneve të probabilitetit: në domene diskrete, kjo është largësia midis funksioneve të masës së probabilitetit

$\delta (P,Q)=\frac{1}{2}\sum _x|P(x)-Q(x)|,$

dhe kur shpërndarjet kanë funksione standarde të densitetit të probabilitetit p dhe q,

$\delta (P,Q)=\frac{1}{2}\int |p(x)-q(x)|\mathrm{d}x$