Shih burimin për Limiti i një funksioni

<div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width:252px;">
{| class="wikitable" style="width:100%; margin:0px;"
! <math>x</math>
! <math>\frac{\sin x}{x}</math>
|-
| 1
| 0.841471...
|-
| 0.1
| 0,998334...
|-
| 0.01
| 0,999983...
|}
<div class="thumbcaption">
Megjithëse funksioni <math>\frac{\sin x}{x}</math> nuk është përcaktuar në zero, pasi x i afrohet zeros gjithnjë e më shumë, <math>\frac{\sin x}{x}</math> i afrohet pambarimisht 1. Me fjalë të tjera, limiti i <math>\frac{\sin x}{x}</math>kur x i afrohet zeros, është e barabartë&nbsp;1.
</div></div></div>Në [[Matematika|matematikë]], '''kufiri i një funksioni''' është një koncept themelor në kalkulus dhe [[Analiza matematikore|analizën matematike]] në lidhje me sjelljen e atij [[funksioni]] pranë një pike të caktuar.

Përkufizimet formale, të krijuara për herë të parë në fillim të shekullit të 19-të, janë dhënë më poshtë. Joformalisht, një funksion <math>f</math> cakton një dalje <math>f(x)</math> për çdo hyrje x . Themi se funksioni ka një kufi L në një hyrje <math>p</math>, nëse <math>f(x)</math> i afrohet L gjithnjë e më shumë ndërsa <math>x</math> i afrohet gjithnjë e më shumë <math>p</math>. Më konkretisht, kur f zbatohet për çdo hyrje ''mjaftueshëm'' afër p, vlera e daljes detyrohet ''në mënyrë arbitrare'' afër L Nga ana tjetër, nëse disa hyrje shumë afër p merren në dalje që qëndrojnë në një distancë fikse larg njëra-tjetrës, atëherë themi se kufiri ''nuk ekziston'' .

== Funksionet e një ndryshoreje të vetme ==

=== (ε, δ)-definition of limit ===
[[Skeda:Epsilon-delta_limit.svg|parapamje| Për f, a dhe b të paraqitura, ne mund të sigurojmë që vlera <math>f(x)</math> të jetë brenda një intervali arbitrar të vogël (b – ε, b + ε) duke kufizuar x në një interval mjaft të vogël (a – δ, a + δ). Prandaj <math>f(x)</math> → b kur x → a .]]
Supozoni se <math>f: \R \rightarrow \R</math> është një funksion i përcaktuar në vijën reale, dhe gjenden dy numra realë p dhe L . Mund të thuhet se '''kufiri i f, kur x i afrohet p, është L''' dhe shkruhet <ref name="swokowski">{{Citation |last=Swokowski |first=Earl W. |title=Calculus with Analytic Geometry |url=https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA58 |page=58 |year=1979 |edition=2nd |publisher=Taylor & Francis}}</ref><math display="block"> \lim_{x \to p} f(x) = L,</math>ose në mënyrë alternative, të themi <math> \boldsymbol{f(x)}</math> '''tenton drejt L ndërsa x shkon në p''', dhe shkruhet:<math display="block"> f(x) \to L \text{ kur } x \to p ,</math>nëse vlen vetia e mëposhtme: për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ reale > 0 e tillë që për të gjitha x reale, <math> 0 < |x-p| < \delta</math> nënkupton <math> |f(x)-L| < \epsilon</math>. <ref name="swokowski">{{Citation |last=Swokowski |first=Earl W. |title=Calculus with Analytic Geometry |url=https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA58 |page=58 |year=1979 |edition=2nd |publisher=Taylor & Francis}}<cite class="citation cs2" data-ve-ignore="true" id="CITEREFSwokowski1979">Swokowski, Earl W. (1979), [https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA58 ''Calculus with Analytic Geometry''] (2nd&nbsp;ed.), Taylor & Francis, p.&nbsp;58</cite></ref> Në mënyrë simbolike,<math display="block">(\forall \varepsilon > 0 ) \, (\exists \delta > 0) \, (\forall x \in \R) \, (0 < |x - p| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon).</math>Për shembull, mund të themi<math display="block">\lim_{x \to 2} (4x + 1) = 9</math>sepse për çdo ε > 0 reale, mund të marrim δ = ε /4, kështu që për të gjitha x reale, nëse 0 < | x − 2 | < δ, pastaj | 4 x + 1 − 9 | < ε .

: Për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ real > 0 e tillë që për të gjitha x ∈ ( a, b ), 0 < |x − p | < δ nënkupton që |f ( x ) − L | < ε .

Ose simbolikisht:<math display="block">(\forall \varepsilon > 0 ) \, (\exists \delta > 0) \, (\forall x \in (a, b)) \, (0 < |x - p| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon).</math>