Shih burimin për Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Në [[Matematika|matematikë]], '''metoda e koeficientëve të pacaktuar''' është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe [[Relacionet rekurente|marrëdhëniet e rekurencës]] . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një [[ansatz]] ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

== Përshkrimi i metodës ==
Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës

: <math> \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)</math>
: ku <math>y^{(i)}</math> tregon derivatin i-të të <math>y</math>, dhe <math>c_i</math> tregojnë një funksion të <math>x</math> .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: <ref>{{Cite book |last=Zill, Dennis G., Warren S. Wright |title=Advanced Engineering Mathematics |publisher=Jones and Bartlett |year=2014 |isbn=978-1-4496-7977-4 |pages=125}}</ref>

# <math>c_i</math> janë konstante.
# <math>g(x)</math> është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial <math>e^{\alpha x}</math>, funksionet e sinusit ose kosinusit <math>\sin{\beta x}</math> ose <math>\cos{\beta x}</math>, ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( <math>{\alpha}</math>, <math>{\beta}</math> konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene <math>y_c</math> për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues

: <math> \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = 0,</math>

dhe një integral të veçantë <math>y_p</math> të EDZ jo-homogjen linear bazuar në <math>g(x)</math> . Pastaj zgjidhja e përgjithshme <math>y</math> të EDZ jo-homogjen linear do të ishte

: <math>y = y_c + y_p.</math> <ref name="Zill2008">{{Cite book |last=Dennis G. Zill |url=https://books.google.com/books?id=BnArjLNjXuYC&q=%22undetermined+coefficients%22 |title=A First Course in Differential Equations |date=14 maj 2008 |publisher=Cengage Learning |isbn=978-0-495-10824-5}}</ref>

Nëse <math>g(x)</math> jepet si shuma e dy funksioneve <math>h(x) + w(x)</math> dhe thuhet se <math>y_{p_1}</math> është zgjidhja e bazuar në <math>h(x)</math> dhe <math> y_{p_2}</math> zgjidhja e bazuar në <math>w(x)</math> . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë <math>y_p</math> është <ref name="Zill2008">{{Cite book |last=Dennis G. Zill |url=https://books.google.com/books?id=BnArjLNjXuYC&q=%22undetermined+coefficients%22 |title=A First Course in Differential Equations |date=14 maj 2008 |publisher=Cengage Learning |isbn=978-0-495-10824-5}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFDennis_G._Zill2008">Dennis G. Zill (14 May 2008). [https://books.google.com/books?id=BnArjLNjXuYC&q=%22undetermined+coefficients%22 ''A First Course in Differential Equations'']. Cengage Learning. [[ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/978-0-495-10824-5|<bdi>978-0-495-10824-5</bdi>]].</cite></ref>

: <math>y_p = y_{p_1} + y_{p_2}.</math>

== Format tipike të integralit të veçantë ==
{| class="wikitable"
! align="left" |Funksioni i ''x''
! align="left" | Trajta për ''y''
|-
| <math>k e^{a x}\!</math>
| <math>C e^{a x}\!</math>
|-
| <math>k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!</math>
| <math>\sum_{i=0}^n K_i x^i \!</math>
|-
| <math>k \cos(a x) \text{ or } k \sin(a x) \!</math>
| <math>K \cos(a x) + M \sin(a x) \!</math>
|-
| <math>k e^{a x} \cos(b x) \text{ or } ke^{a x} \sin(b x) \!</math>
| <math>e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!</math>
|-
| <math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ or }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!</math>
| <math>\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)</math>
|-
| <math>\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ or } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!</math>
| <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math>
|}

== Shembuj ==

=== Shembulli 1 ===
Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit

: <math>y'' + y = t \cos t. </math>

Ana e djathtë <math>t \cos t</math> ka formën

: <math> P_n e^{\alpha t} \cos{\beta t} </math>

me <math>n = 2, \text{ , } \alpha = 0 \text{ , } \beta = 1</math>.

Meqenëse <math>\alpha + i \beta = i</math> është ''një rrënjë e thjeshtë'' e ekuacionit karakteristik

: <math>\lambda^2 + 1 = 0 </math>

duhet të provojmë një integral të veçantë të formës

: <math>\begin{align}
y_p &= t \left [F_1 (t) e^{\alpha t} \cos{\beta t} + G_1 (t) e^{\alpha t} \sin{\beta t} \right ] \\
&= t \left [F_1 (t) \cos t + G_1 (t) \sin t \right ] \\
&= t \left [ \left (A_0 t + A_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t + B_1 \right ) \sin t \right ] \\
&= \left (A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right) \sin t.
\end{align}</math>

Duke zëvendësuar <math>y_p</math> në ekuacionin diferencial, kemi identitetin

: <math>\begin{align}
t \cos t &= y_p'' + y_p \\
&= \left [ \left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ]'' + \left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\
&= \left [2A_0 \cos t + 2 \left (2A_0 t + A_1 \right )(-\sin t) + \left (A_0 t^2 + A_1 t \right )(-\cos t) + 2B_0 \sin t + 2 \left (2B_0 t + B_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right )(- \sin t) \right ] \\
&\qquad +\left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\
&= [4B_0 t + (2A_0 + 2B_1)] \cos t + [-4A_0 t + (-2A_1 + 2B_0)] \sin t.
\end{align}</math>

Duke krahasuar të dyja palët, kemi

: <math>\begin{cases} 
1 = 4B_0\\
0 = 2A_0 + 2B_1 \\
0 = -4A_0 \\
0 = -2A_1 + 2B_0
\end{cases}</math>

e cila ka zgjidhjen

: <math>A_0 = 0, \quad A_1 = B_0 = \frac{1}{4}, \quad B_1 = 0.</math>

Pastaj marrim një integral të veçantë

: <math>y_p = \frac {1} {4} t \cos t + \frac {1}{4} t^2 \sin t. </math>

=== Shembulli 2 ===
Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:

: <math>\frac{dy}{dx} = y + e^x.</math>


Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene ( <math>e^x</math> ) ''nuk'' është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene ( <math>c_1 e^x</math> ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej ''x'' për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:

: <math>y_p = A x e^x.</math>

Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për ''A'' :

: <math>\frac{d}{dx} \left( A x e^x \right) = A x e^x + e^x</math>
: <math>A x e^x + A e^x = A x e^x + e^x</math>
: <math>A = 1.</math>

Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:

: <math>y = c_1 e^x + xe^x.</math>

=== Shembulli 3 ===
Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

: <math>\frac{dy}{dt} = t^2 - y</math>

<math>t^2</math> është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,

: <math>y_p = A t^2 + B t + C,</math>

Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,

: <math>2 A t + B = t^2 - (A t^2 + B t + C),</math>
: <math>2 A t + B =(1-A)t^2 -Bt -C, </math>
: <math>(A-1)t^2 + (2A+B)t + (B+C) = 0.</math>

e cila jep:

: <math>A-1 = 0, \quad 2A+B =0, \quad B+C=0.</math>

Duke zgjedhur konstantet marrim:

: <math>y_p = t^2 - 2 t + 2</math>

Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,

: <math>y= y_p + y_c</math>

ku <math>y_c</math> është zgjidhja homogjene <math>y_c = c_1 e^{-t}</math> Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është:

: <math>y= t^2 - 2 t + 2 + c_1 e^{-t}</math>