Shih burimin për Transformimi i Laplasit i zbatuar në ekuacione diferenciale

Në [[Matematika|matematikë]], [[transformimi i Laplasit]] është një [[Transformimi integral|transformim i fuqishëm integral]] i përdorur për të kaluar një funksion nga [[Domeni i kohës|rrafshi i kohës]] në [[Transformimi i Laplasit|rrafshin s]] . Transformimi i Laplasit mund të përdoret në disa raste për të zgjidhur [[Ekuacioni diferencial linear|ekuacionet diferenciale lineare]] me [[Problemi me vlerën fillestare|kushte fillestare]] të dhëna.

Së pari merrni parasysh vetinë e mëposhtme të transformimit të Laplasit:

: <math>\mathcal{L}\{f'\}=s\mathcal{L}\{f\}-f(0)</math>

: <math>\mathcal{L}\{f''\}=s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f'(0)</math>

Mund të vërtetohet me [[Induksioni matematik|induksion]] se

: <math>\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^n\mathcal{L}\{f\}-\sum_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)</math>

Tani marrim parasysh ED të mëposhtëm:

: <math>\sum_{i=0}^{n}a_if^{(i)}(t)=\phi(t)</math>

me kushte fillestare të dhëna

: <math>f^{(i)}(0)=c_i</math>

Duke përdorur linearitetin e transformimit të Laplasit është e njëvlershme të rishkruhet ekuacioni si

: <math>\sum_{i=0}^{n}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>

duke marrë

: <math>\mathcal{L}\{f(t)\}\sum_{i=0}^{n}a_is^i-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}f^{(j-1)}(0)=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>

Zgjidhja e ekuacionit për <math> \mathcal{L}\{f(t)\}</math> dhe duke zëvendësuar <math>f^{(i)}(0)</math> me <math>c_i</math> jep

: <math>\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}c_{j-1}}{\sum_{i=0}^{n}a_is^i}</math>

Zgjidhja për <math>f(t)</math> fitohet duke zbatuar transformimin e anasjelltë të Laplasit në <math>\mathcal{L}\{f(t)\}.</math>

Vini re se nëse kushtet fillestare janë të gjitha zero, dmth

: <math>f^{(i)}(0)=c_i=0\quad\forall i\in\{0,1,2,...\ n\}</math>

atëherë formula thjeshtohet duke dhënë

: <math>f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{{\mathcal{L}\{\phi(t)\}\over\sum_{i=0}^{n}a_is^i}\right\}</math>

== Nje shembull ==
Ne duam të zgjidhim

: <math>f''(t)+4f(t)=\sin(2t)</math>


me kushte fillestare <math>f(0)=0</math> dhe <math>f'(0) = 0</math>.

Vëmë re se

: <math>\phi(t)=\sin(2t)</math>

dhe marrim

: <math>\mathcal{L}\{\phi(t)\}=\frac{2}{s^2+4}</math>

Ekuacioni është atëherë i njëvlershëm me

: <math>s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>

Ne dalim në përfundimin se

: <math>\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{(s^2+4)^2}</math>

Tani ne aplikojmë transformimin e anasjelltë të Laplasit për të marrë

: <math>f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)</math>
[[Kategoria:Ekuacione diferenciale]]