Transformimi i Laplasit i zbatuar në ekuacione diferenciale

Në matematikë, transformimi i Laplasit është një transformim i fuqishëm integral i përdorur për të kaluar një funksion nga rrafshi i kohës në rrafshin s . Transformimi i Laplasit mund të përdoret në disa raste për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare me kushte fillestare të dhëna.

Së pari merrni parasysh vetinë e mëposhtme të transformimit të Laplasit:

$ℒ\{f^{\prime }\}=sℒ\{f\}-f(0)$

$ℒ\{f^{″}\}=s^2ℒ\{f\}-sf(0)-f^{\prime }(0)$

Mund të vërtetohet me induksion se

$ℒ\{f^{(n)}\}=s^nℒ\{f\}-\sum _{i=1}^n{s}^{n-i}{f}^{(i-1)}(0)$

Tani marrim parasysh ED të mëposhtëm:

$\sum _{i=0}^n{a}_i{f}^{(i)}(t)=\varphi (t)$

me kushte fillestare të dhëna

$f^{(i)}(0)=c_i$

Duke përdorur linearitetin e transformimit të Laplasit është e njëvlershme të rishkruhet ekuacioni si

$\sum _{i=0}^n{a}_iℒ\{f^{(i)}(t)\}=ℒ\{\varphi (t)\}$

duke marrë

$ℒ\{f(t)\}\sum _{i=0}^n{a}_i{s}^i-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{a}_i{s}^{i-j}{f}^{(j-1)}(0)=ℒ\{\varphi (t)\}$

Zgjidhja e ekuacionit për $ℒ\{f(t)\}$ dhe duke zëvendësuar $f^{(i)}(0)$ me $c_i$ jep

$ℒ\{f(t)\}=\frac{ℒ\{\varphi (t)\}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{a}_i{s}^{i-j}{c}_{j-1}}{\sum _{i=0}^n{a}_i{s}^i}$

Zgjidhja për $f(t)$ fitohet duke zbatuar transformimin e anasjelltë të Laplasit në $ℒ\{f(t)\}.$

Vini re se nëse kushtet fillestare janë të gjitha zero, dmth

$f^{(i)}(0)=c_i=0\mathrm{\forall }i\in \{0,1,2,...n\}$

atëherë formula thjeshtohet duke dhënë

$f(t)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{ℒ\{\varphi (t)\}}{\sum _{i=0}^n{a}_i{s}^i}\right\}$

Nje shembull

Ne duam të zgjidhim

$f^{″}(t)+4f(t)=\sin (2t)$

me kushte fillestare $f(0)=0$ dhe $f^{\prime }(0)=0$.

Vëmë re se

$\varphi (t)=\sin (2t)$

dhe marrim

$ℒ\{\varphi (t)\}=\frac{2}{s^2+4}$

Ekuacioni është atëherë i njëvlershëm me

$s^2ℒ\{f(t)\}-sf(0)-f^{\prime }(0)+4ℒ\{f(t)\}=ℒ\{\varphi (t)\}$

Ne dalim në përfundimin se

$ℒ\{f(t)\}=\frac{2}{(s^2+4{)}^2}$

Tani ne aplikojmë transformimin e anasjelltë të Laplasit për të marrë

$f(t)=\frac{1}{8}\sin (2t)-\frac{t}{4}\cos (2t)$