Shih burimin për Zgjerimi Jakobi–Anger


Në [[Matematika|matematikë]], '''zgjerimi Jakobi-Anger''' (ose '''identiteti Jakobi-Anger''' ) është një zgjerim i eksponencialeve të [[Funksionet trigonometrike|funksioneve trigonometrike]] në bazë të harmonikave të tyre. 

Është i dobishëm në fizikë (për shembull, për të konvertuar midis [[Vala e aeroplanit|valëve plane]] dhe [[Cylindrical wave|valëve cilindrike]] ), dhe në [[Përpunimi i sinjalit|përpunimin e sinjalit]] (për të përshkruar sinjalet [[Modulimi i frekuencës|FM]] ). Ky identitet është emëruar pas matematikanëve të shekullit të 19-të [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Karl Jakobi]] dhe Karl Theodor Anger .

Identiteti më i përgjithshëm jepet nga: <ref name="Colton_Kress_32">Colton & Kress (1998) p. 32.</ref> <ref name="Cuyt_et_al_344">Cuyt ''et al.'' (2008) p. 344.</ref>

: <math>
 e^{i z \cos \theta} \equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n\, J_n(z)\, e^{i n \theta},
</math>

ku <math>J_n(z)</math> është funksioni i <math>n</math>-të [[Funksionet Besel|Bessel i llojit të parë]] dhe <math>i</math> është [[njësia imagjinare]], <math display="inline">i^2=-1.</math> Zëvendësimi <math display="inline">\theta</math> nga <math display="inline">\theta-\frac{\pi}{2}</math>, marrim gjithashtu:

: <math>
\begin{align}
 \cos(z \cos \theta) &\equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
 \\
 \sin(z \cos \theta) &\equiv -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],
 \\
 \cos(z \sin \theta) &\equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
 \\
 \sin(z \sin \theta) &\equiv 2 \sum_{ n=1 }^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].
\end{align}
</math>

Duke përdorur relacionin <math>J_{-n}(z) = (-1)^n\, J_{n}(z),</math> e vlefshme për numër të plotë <math>n</math>, zgjerimi bëhet: <ref name="Colton_Kress_32">Colton & Kress (1998) p. 32.</ref> <ref name="Cuyt_et_al_344">Cuyt ''et al.'' (2008) p. 344.</ref>

: <math>
\begin{align}
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_\nu(x) &= 1,
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{2 \nu}(x) &= 1,
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{3 \nu}(x) &= \frac{1}{3} \left[1+2\cos{\frac{x\sqrt{3}}{2}}\right],
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{4 \nu}(x) &= \cos^2\left(\frac{x}{2}\right).
\end{align}
</math>

== Shprehje me vlerë reale ==
Ndryshimet e mëposhtme me vlerë reale shpesh janë gjithashtu të dobishme: <ref>Abramowitz & Stegun (1965) [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_361.htm p. 361, 9.1.42–45]</ref>

: <math>
\begin{align}
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_\nu(x) &= 1,
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{2 \nu}(x) &= 1,
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{3 \nu}(x) &= \frac{1}{3} \left[1+2\cos{\frac{x\sqrt{3}}{2}}\right],
 \\
 \sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{4 \nu}(x) &= \cos^2\left(\frac{x}{2}\right).
\end{align}
</math>