Zgjerimi Jakobi–Anger

Në matematikë, zgjerimi Jakobi-Anger (ose identiteti Jakobi-Anger ) është një zgjerim i eksponencialeve të funksioneve trigonometrike në bazë të harmonikave të tyre.

Është i dobishëm në fizikë (për shembull, për të konvertuar midis valëve plane dhe valëve cilindrike ), dhe në përpunimin e sinjalit (për të përshkruar sinjalet FM ). Ky identitet është emëruar pas matematikanëve të shekullit të 19-të Karl Jakobi dhe Karl Theodor Anger .

Identiteti më i përgjithshëm jepet nga:

$e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{J}_n(z)e^{in\theta },$

ku $J_n(z)$ është funksioni i $n$-të Bessel i llojit të parë dhe $i$ është njësia imagjinare, $i^2=-1.$ Zëvendësimi $\theta$ nga $\theta -\frac{\pi }{2}$, marrim gjithashtu:

$\begin{array}{cc}\cos (z\cos \theta )& \equiv J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_{2n}(z)\cos (2n\theta ),\\ \sin (z\cos \theta )& \equiv -2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_{2n-1}(z)\cos \left[(2n-1)\theta \right],\\ \cos (z\sin \theta )& \equiv J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n}(z)\cos (2n\theta ),\\ \sin (z\sin \theta )& \equiv 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n-1}(z)\sin \left[(2n-1)\theta \right].\end{array}$

Duke përdorur relacionin $J_{-n}(z)=(-1{)}^n{J}_n(z),$ e vlefshme për numër të plotë $n$, zgjerimi bëhet:

$\begin{array}{cc}\sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu }(x)& =1,\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2\nu }(x)& =1,\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{3\nu }(x)& =\frac{1}{3}[1+2\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}],\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{4\nu }(x)& ={\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right).\end{array}$

Shprehje me vlerë reale

Ndryshimet e mëposhtme me vlerë reale shpesh janë gjithashtu të dobishme:

$\begin{array}{cc}\sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\nu }(x)& =1,\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2\nu }(x)& =1,\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{3\nu }(x)& =\frac{1}{3}[1+2\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}],\\ \sum _{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{4\nu }(x)& ={\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right).\end{array}$