Principi i Hamiltonit

Në fizikë, principi i Uilliam Rouan Hamilton është një formulim alternativ i ekuacioneve diferenciale të lëvizjes për një sistem fizik si ekuivalenti i ekuacioneve integrale, duke përdorur analizën e variacionit. Ky princip quhet gjithashtu edhe principi i veprimit stacionar. Edhe pse për herë të parë ky princip u formulua për përdorim në mekanikën klasike, principi i Hamiltonit gjen aplikime edhe në fushat klasike si elektromagnetizmi dhe gravitacioni. Ky princip është zhvilluar edhe në mekanikën kuantike, në teorinë e fushës kuantike si dhe për teori të tjera.

Historia e Principit të Hamiltonit

Një nga principet e para minimale në fizikë u dha nga Heroni i Aleksandrisë në shekullin e dytë. Ky princip ka të bëjë me fushën e optikës dhe pohon se një rreze dritë që kalon nga një pikë në një tjetër me reflektim nga një pasqyre gjithmonë do të marre shtegun më të shkurtër. Megjithatë principi i shtegut më të shkurtër nga Heroni nuk harrin që të japi ligjin e sakte të pasqyrimit të dritës. Në 1657 Fermat e riformuloi këtë parim duke hipotezuar se drita në një medium kalon nga një pike në një tjetër nëpërmjet shtegut që merr kohen më të paket. Principi i Ferma jo vetëm që jep ligjin e sakte të pasyrimite të dritës por prej tij mund të derivohet edhe ligji i refraktimit i njohur ndryshe si ligja i Snellit. Në mekanikë zbatimi i parë i parimit të veprimit minimal u be në 1747 nga Maupertus i cili hipotezoi se lëvizja dinamike ndodh me një veprim minimal. Maupertus e shpjegonte këtë me baza teologjike. Sipas tij ishte dituria e Zotit ajo që e bënte të mundur këtë. Në 1760 principi u vu në baza matematikë nga Jozef Luiz Lagranzhi i cili përdori analizën matematikë të variacionit për të zgjidhur shumë probleme bazuar në këtë princip. Ne 1828 që Gausi ai që përdori atë që ai quante principi i shtrëngesës më të paket. Një modifikim u be më vonë nga Herci në atë që ai quante principi i kurbaturës minimale. Megjithatë që Hamiltoni ai që për herë të parë dha në mënyre koncize atë që ne sot e njohim si principi i veprimit minimal. Principi i Hamiltoni pohon se nga të gjitha shtegjet e mundura që një sistem dinamik mund të ndjeke mes dy pika në një interval kohor të caktuar ai ndjek atë që minimizon integralin e veprimit, ku integrali i veprimit përcaktohet si diferenca mes energjisë kinetike dhe asaj potenciale. Është për tu theksuar se nga pikëpamja kronologjike principi i Hamiltonit erdhi pas metodës së Lagranzhit.

Formulimi Matematik

Principi i Hamiltonit pohon se evoluimi i vërtete $𝐪(t)$ i një sistemi të përshkruar nga $N$ koordinata të përgjithshme $𝐪=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$ mes dy gjendjeve specifike ${𝐪}_1\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐪(t_1)$ edhe ${𝐪}_2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐪(t_2)$ në dy kohë specifike $t_1$ edhe $t_2$ është një ekstremum (i.e., një pikë stacionare, e cila mund të jetë një minimum, maksimum ose pikë infleksoni) e veprimit të funksionalit

$𝒮[𝐪(t)]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(𝐪,\dot{𝐪},t)dt$

ku $L(𝐪,\dot{𝐪},t)$ është funksioni i Lagranzhit për sistemin. Me fjale të tjera, çdo perturbim i klasit të parë i evolucionit të vërtete të sistemit rezulton në (të shumtën) një ndryshim të klasit të dytë në $𝒮$. Duhet të theksohet se veprimi $𝒮$ është një funksional, i.e., diçka që merr si inputin e saj një funksion dhe kthen një numër të vetëm, një madhësi skalare. Në terma të analizës funksionale, principi i Hamiltonit pohon se evolucioni i vërtete i një sistemi fizik jepet nga zgjidhja e ekuacionit funksional

$\frac{\delta 𝒮}{\delta 𝐪(t)}=0$

Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit për integralin e veprimit

Kur kërkojmë që trajektorja e vërtete $𝐪(t)$ të jetë një pikë stacionare e funksionalit të veprimit $𝒮$ atëherë kjo është një mënyre ekuivalente si në rastin kur problemi shtrohet si një set ekuacionesh diferenciale $𝐪(t)$ (ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), të cilat mund të derivohen si më poshtë.

Le $𝐪(t)$ të përfaqësoje evoluimin e vërtete të një sistemi mes dy gjendjeve specifike ${𝐪}_1\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐪(t_1)$ dhe ${𝐪}_2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐪(t_2)$ në dy kohë specifike $t_1$ dhe $t_2$, le $\mathit{\epsilon }(t)$ të jete një perturbim i vogël që merr vlerën zero në dy pikat kufitare të trajektores

$\mathit{\epsilon }(t_1)=\mathit{\epsilon }(t_2)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}0$

Në rendin e parë ky perturbim $\mathit{\epsilon }(t)$, tregon ndryshimin e veprimit funksional $\delta 𝒮$ që është

$\delta 𝒮=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[L(𝐪+\mathit{\epsilon },\dot{𝐪}+\dot{\mathit{\epsilon }})-L(𝐪,\dot{𝐪})]dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\mathit{\epsilon }\cdot \frac{\partial L}{\partial 𝐪}+\dot{\mathit{\epsilon }}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}})dt$

ku e kemi zgjeruar funksionin e Lagranzhit L në klasë të parë të perturbimit $\mathit{\epsilon }(t)$.

Tani zbatojmë teknikën e integrimit me pjesë në termat e fundi të rezultatit

$\delta 𝒮={[\mathit{\epsilon }\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}}]}_{t_1}^{t_2}+\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\mathit{\epsilon }\cdot \frac{\partial L}{\partial 𝐪}-\mathit{\epsilon }\cdot \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}})dt$

Nga kondicionet në pikat kufitare $\mathit{\epsilon }(t_1)=\mathit{\epsilon }(t_2)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}0$ shikojmë se termi i pare thjeshtohet

$\delta 𝒮=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\mathit{\epsilon }\cdot (\frac{\partial L}{\partial 𝐪}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}})dt$

Principi i Hamiltonit kërkon që ndryshimet në rend të pare $\delta 𝒮$ të jete zero për të gjitha perturbimet e mundshme $\mathit{\epsilon }(t)$ kjo domethënë që shtegu i vërtete i pikës stacionare të funksionalit të veprimit $𝒮$ të jetë (ose një minimum, maksimum ose pike infleksioni). Kjo kërkese mund të kënaqet vetëm neqoftese

$\frac{\partial L}{\partial 𝐪}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}}=0$   Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit

Këto ekuacione quhen ekuacionet e Ojler- Lagranzhit dhe përdoren për të zgjidhur një numër të madh problemesh variacioni.

Shembull : një pike lëndore në koordinata polare

Shembuj të thjeshte tregojnë fuqinë e vërtete të parimit të veprimit nëpërmjet ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit. Një thërrmije e lire, pra në mungese të një force (me mase m dhe shpejtësi v) në hapësirën euklidiane lëviz në një vije të drejte. Duke përdorur ekuacionet e Ojler-Lagranzhit, në koordinata polare kjo mund të ilustrohet si më poshtë. Në mungese të një potenciali, funksioni Lagrazhian është i barabarte me energjinë kinetike

$L=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$

në koordinata ortonormale (x,y), ku pika paraqet diferencimin në lidhje me parametrin e kurbës (kjo zakonisht është koha, t).

Në koordinata polare (r, φ) energjia kinetike, pra në këtë rast funksioni Lagrazhian është :

$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2).$

Ku rrezja r dhe φ komponentët e ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit shndërrohen respektivisht në :

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0\Rightarrow \ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2=0$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \ddot{\phi }+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi }=0.$

Zgjidhja e këtyre ekuacioneve jepet nga

$r\cos \phi =at+b$

$r\sin \phi =ct+d$

për një set konstantesh a, b, c, d të caktuara nga të dhënat fillestare. Pra, më të vërtete, zgjidhja jepet nga një vije e drejte e dhëne në koordinata polare.

Parimi i veprimit në mekaniken kuantike dhe teorinë kuantike të fushës

Në mekanikën kuantike, sistemi nuk ndjek një rrugë të vetme veprimi e cila është e palëvizshëme, por sjellja e sistemit varet mbi të gjitha shtigjet e imagjinueshëm dhe vlerën e veprimit të tyre. Veprim përkatës në rrugë të ndryshme është përdorur për të llogaritur integralet e shtegjeve, që jep amplitudën e probabilitetit te rezultateve të ndryshme.

Edhe pse ekuivalent në mekanikën klasike me ligjet e Njutonit, parimi i veprimit është i përshtatshëm më mirë për përgjithësime dhe luan një rol të rëndësishëm në fizikës moderne. Në të vërtetë, ky parim është një nga përgjithësimet e madhe në shkencën fizike. Në veçanti, ajo është vlerësuar plotësisht dhe mirë kuptohet brenda mekanikës kuantike. Formulimi i integraleve te shtegjeve i Richard Feynman për mekanikën kuantike është i bazuar në një parim stacionar të veprimit, duke përdorur integralet e shtegjeve. Ekuacionet e Maksuellit mund të rrjedhin si kushtet të veprimit stacionar.

Implikimet filozofike të parimit të Hamiltonit

Në formulimin njutonian të mekanikes klasike një forcë e zbatuar në një trup prodhon një lëvizje. Pra kemi një efekt të shkaktuar nga një kauze e caktuar e cila në këtë rast është forca. Nga ana tjetër principi i Hamiltonit pohon se lëvizja e një trupi i atribuohet natyrës e cila ka një qëllim të caktuar, ky qellim është minimizimi i integralit të veprimit ose e thëne në një gjuhe më të thjeshtë natyra kërkon që të minimizoje energjinë e harxhuar në një sistem gjatë një procesi.

Referime

• W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308 Stampa:Webarchive; Part II (1835) p. 95-144 Stampa:Webarchive.

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover), pp.2-4.

• Arnold VI. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.