Ekuacionet e lëvizjes

Ekuacionet e levizjes janë ekuacione që përshkruajnë sjelljen e një sistemi (p.sh., lëvizjen e një grimce nën ndikimin e një force) në funksion të kohës ose pa kohën. Zakonisht termi i referohet ekuacioneve diferenciale që përshkruajnë sistemin (p.sh., Ligji i dytë i Njutonit ose ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), si dhe zgjidhjeve të ekuacioneve në fjalë. Për çdo trup në lëvizje analizimi i forcave jep një ekuacion të caktuar i cili përmban terma që lidhen me nxitimin dhe shpejtësinë e trupit që po studiohet. Bashkësia e këtyre ekuacioneve njihen me emrin e përgjithshëm si ekuacionet e lëvizjes.

Ekuacionet e lëvizjes drejtvizore të njëtrajtshme të përshpejtuara

Ekuacionet që vlejnë për trupat në lëvizje drejtvizore (në një dimension), me nxitim konstant janë të dhëna më poshtë . Pesë variablat janë të përfaqësuara nga ato letra (s = distanca, $v_i$ = shpejtësia fillestare, $v_f$= shpejtësia në fund të intervalit,a= nxitimi ,t = koha). Duhet të theksohet se në këtë notacion përdorim shkronjën r(range) për zhvendosjen e cila është madhësi vektoriale, dhe shkronjën s për distancën e cila është madhësi skalare.

Trupi analizohet mes dy çasteve kohore: në një pikë fillestare dhe në një pikë të tanishme (ose finale) . Problemet në kinematikë mund të merret në më shumë se dy caste, dhe disa zbatime të ekuacioneve janë të nevojshme në atë rast. Nëse a (nxitimi) është konstant, një diferencial , dt, mund të integrohet mbi një interval nga 0 në $\mathrm{\Delta }t$ ($\mathrm{\Delta }t=t_f-t_i$), për të marrë një marrëdhënie lineare për vektorin e shpejtësisë. Integrimi i vektorit të shpejtësisë jep një marrëdhënie kuadratike për pozicionin në fund të intervalit.

$v=v_i+a\mathrm{\Delta }t$ $s=s_i+v_i\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}a(\mathrm{\Delta }t{)}^2$ $s=s_i+\frac{1}{2}(v+v_i)\mathrm{\Delta }t$ $v^2=v_i^2+2a(s-s_i)$

ku ... $v_i$ është vektori fillestar i shpejtësisë $s_i$ është pozicioni fillestar i trupit dhe gjëndja e tanishme jepet nga : $v$, vektori i shpejtësisë në fund të intervalit $s$, pozicioni në fund të intervalit të (zhvendosjes) $\mathrm{\Delta }t$, intervali kohor midis gjndjes fillestare dhe asaj të tanishme $a$, nxitimi konstant, ose në rastin e trupave nën influencën e gravitetit , g.

Vini re se secili nga ekuacionet ka katër nga pesë variablat e duhura. Pra në një situatë të tillë është e mjaftueshme të dimë tre nga variablat për të gjetur dy të tjerat.

Ekuacionet klasike

Ekuacionet e mëposhtme përshkruajnë lëvizjen drejtvizore me nxitim të pandryshueshëm këto ekuacione shkruhen në formën e mëposhtme :

$\begin{array}{ccccc}& v& & =v_i+at& \text{(1)}\\ & s& & =\frac{1}{2}(v_i+v)t& \text{(2)}\\ & s& & =v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2& \text{(3)}\\ & s& & =v_{f}t-\frac{1}{2}a{t}^2& \text{(4)}\\ & v^2& & =v_i^2+2as& \text{(5)}\\ & a& & =\frac{v-v_i}{t}& \text{(6)}\\ \end{array}$

Duke zëvendësuar (1) tek (2), marrim (3), (4) dhe (5). (6) mund të merret duke rirregulluar (1).

ku

s = distanca midis pozicionit fillestar dhe atij final (zhvendosja) (në disa literatura mund ta gjeni si R ose x)

$v_i$ = shpejtësia fillestar (vlera e shpejtësisë në çdo drejtim)

$v_f$ = shpejtësia finale

a = nxitimi konstant

t = koha që duhet për të kaluar nga gjenda fillestare tek ajo përfundimtare

Shembuj

Shumë shembuj në kinematikë përfshinë studimin e predhës, për shembull një top i hedhur në ajër në një kënd të caktuar. Po të kemi vlerën e shpejtësisë fillestare $v_i$, ne mund të llogaritim se sa lart topi do të arrijë para se të bjerrë.

Nxitimi në këtë rast është nxitimi i fushës së rëndesës normale g. Tani duhet të vemë në dukje faktin se këto madhësi janë madhësi skalare, drejtimi i zhvendosjes, vlerës së shpejtësisë dhe nxitimit janë të rëndësishme . Po të zgjedhim s si simbolin për matjen e distancës nga dheu, nxitimi a duhet të jetë −g, meqënëse forca e gravitetit vepron drejt qendrës së tokës .

Tek pika më e lartë topi do qëndrojë në prehje: pra $v_f$ = 0. Duke përdorur ekuacionin e pestë , marrime:

$s=\frac{v_f^2-v_i^2}{-2g}.$

Zgjerime

Versione më të zgjeruara të këtyre ekuacioneve përfshijnë madhësinë Δs , ku zhvendosja përcaktohet si diferenca e vektorit fillestar të zhvendosjes me atë final (s − $s_i$), $s_i$ për pozicionin fillestar të trupit , si dhe përdorimin e $v_f$ për shpejtësinë finale dhe $v_i$ për shpejtësinë fillestare (initial) që simbolet të jenë më konsistente.

$v_f=v_i+at$

$s=s_i+\frac{1}{2}(v_i+v_f)t$

$s=s_f+v_{i}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$v_f^2=v_i^2+2a\mathrm{\Delta }s$

$s=s_i+v_{f}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

Duke zhvendosur termat brenda dhe eliminuar shenjën minus marrim:

$H=\frac{v_i^2}{2g}.$

Lidhje të jashtme

• Ekuacionet e lëvizjes