Shpërndarja Irwin–Hall

Në probabilitet dhe statistikë, shpërndarja Irwin–Hall, e emërtuar sipas Joseph Oscar Irwin dhe Philip Hall, është një shpërndarje probabiliteti për një ndryshore të rastit të përcaktuar si shuma e një numri ndryshoresh rasti të pavarura, secila prej të cilave ka një shpërndarje uniforme . Për këtë arsye njihet edhe si shpërndarja uniforme e shumës .

Kjo shpërndarje ndonjëherë ngatërrohet me shpërndarjen Bates, e cila është mesatarja (jo shuma ) e n ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1.

Përkufizimi

Shpërndarja Irwin–Hall është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit për shumën e n ndryshoreve rasti të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike U<i id="mwIg">(</i> 0,<span typeof="mw:Entity" id="mwIw"> </span>1) :

$X=\sum _{k=1}^n{U}_k.$

Funksioni i dendësisë të probabilitetit (pdf) për $0\le x\le n$ jepet nga

$f_X(x;n)=\frac{1}{(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x-k{)}_{+}^{n-1}$

Përafrimi i një shpërndarjeje normale

Me Teoremën Qendrore Limite, ndërsa n rritet, shpërndarja Irwin-Hall përafron gjithnjë e më shumë një shpërndarje normale me mesataren $\mu =n/2$ dhe variancë ${\sigma }^2=n/12$ . Për të përafruar shpërndarjen standarde Normale $\varphi (x)=𝒩(\mu =0,{\sigma }^2=1)$, shpërndarja Irwin–Hall mund të përqendrohet duke e zhvendosur atë me mesataren e saj prej n/2, dhe duke e shkallëzuar rezultatin me rrënjën katrore të variancës së saj:

$\varphi (x)\stackrel{n\gg 0}{\approx }\sqrt{\frac{n}{12}}{f}_X(x\sqrt{\frac{n}{12}}+\frac{n}{2};n)$