Shpërndarja normale

Stampa:Infobox shpërndarja e gjasësNë statistikë, një shpërndarje normale ose shpërndarje Gausiane është një lloj shpërndarjeje e vazhdueshme probabiliteti për një ndryshore të rastësishme me vlera reale . Forma e përgjithshme e funksionit të densitetit të probabilitetit të tij është

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Parametri $\mu$ është mesatarja ose pritja matematike e shpërndarjes (dhe gjithashtu mesorja dhe moda e saj), ndërsa parametri $\sigma$ është devijimi standard i tij. Varianca e shpërndarjes është ${\sigma }^2$ . Një ndryshore e rastësishme me shpërndarje Gausiane thuhet se është e shpërndarë normalisht .

Shpërndarjet normale janë të rëndësishme në statistikë dhe shpesh përdoren në shkenca natyrore dhe sociale për të përfaqësuar ndryshore rasti me vlera reale, shpërndarjet e të cilave nuk dihen. Rëndësia e shpërndarjes normale vjen pjesërisht për shkak të teoremës së qendrore limite . Ai thotë se, në disa kushte, mesatarja e shumë zgjedhjeve (vëzhgimeve) të një ndryshoreje rasti me pritje dhe dispersion të fundëm është në vetvete një ndryshore rasti - shpërndarja e së cilës konvergjon në një shpërndarje normale teksa numri i zgjedhjeve rritet. Prandaj, madhësitë fizike që priten të jenë shuma e shumë proceseve të pavarura, siç janë gabimet e matjes, shpesh kanë shpërndarje që janë pothuajse normale.

Për më tepër, shpërndarjet Gausiane kanë disa veti unike që janë të vlefshme në studimet analitike. Për shembull, çdo kombinim linear i disa ndryshoreve që ndjekin ligj normal është një ndryshore rasti që ndjek po një ligj normal. Shumë rezultate dhe metoda, të tilla si përhapja e pasigurisë dhe përshtatja e parametrave të katrorëve më të vegjël, mund të nxirren në mënyrë analitike në formë të qartë kur ndryshoret përkatëse shpërndahen normalisht.

Një shpërndarje normale nganjëherë quhet joformalisht një kurbë këmbanë . Megjithatë, shumë shpërndarje të tjera janë në formë këmbane (të tilla si Cauchy, e Studentit dhe shpërndarjet logjistike ).

Shpërndarja e probabilitetit njëdimensional përgjithësohet për vektorët në shpërndarjen normale multivariate dhe për matricat në shpërndarjen normale të matricës .

Përkufizimet

Shpërndarja normale standarde

Rasti më i thjeshtë i një shpërndarjeje normale njihet si shpërndarja normale standarde ose shpërndarja normale njësi . Ky është një rast i veçantë kur $\mu =0$ dhe $\sigma =1$, dhe përshkruhet nga ky funksion i densitetit të probabilitetit (ose densiteti):

$\phi (z)=\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi }}.$

Ndryshorja $z$ ka një mesatare 0 dhe variancë dhe devijim standard të barabartë me 1. Dendësia $\phi (z)$ arrin majën e saj $1/\sqrt{2\pi }$ në $z=0$ dhe pikat e infleksionit në $z=+1$ dhe $z=-1$ .

Shpërndarja e përgjithshme normale

Çdo shpërndarje normale është një modifikim i shpërndarjes normale standarde, domeini i së cilës është shtrirë me një faktor $\sigma$ (devijimi standard) dhe më pas zhvendoset me $\mu$ (vlera mesatare):

$f(x\mid \mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$

Nqs $Z$ ndjek ligjin normal standard, atëherë $X=\sigma Z+\mu$ do të ketë një shpërndarje normale me pritje matematike $\mu$ dhe devijim standard $\sigma$. Në mënyrë analoge, nëse $X$ ndjek një ligj normal me parametera $\mu$ dhe ${\sigma }^2$, atëherë shpërndarja e $X$mund të rishkallëzohet dhe të zhvendoset duke zbatuar formulën $Z=(X-\mu )/\sigma$ për ta kthyer atë në shpërndarjen normale standarde. Ndryshorja $Z$ quhet ndrysha forma e standardizuar e $X$.

Shënimi

Shpërndarja normale shpesh shënohet me simbolet $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ose $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ . Kështu kur një ndryshore rasti $X$ zakonisht ndjek një ligj normal me mesatare $\mu$ dhe devijimi standard $\sigma$, mund të shkruhet

$X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2).$

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni kumulativ (mbledhës) i shpërndarjes (CDF) i shpërndarjes normale standarde, zakonisht i shënuar me germën e madhe greke $\mathrm{\Phi }$, jepet si integrali

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2/2}dt$

Funksioni i gabimit $\mathrm{erf}(x)$ jep probabilitetin që një ndryshore rasti, me shpërndarje normale dhe mesatare 0 dhe variancë 1/2 të bjerë në intervalin $[-x,x]$ . Kjo është:

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

Këto integrale nuk mund të shprehen në terma të funksioneve elementare, pra janë të paintegrueshme me kuadraturë, dhe shpesh thuhet se janë funksione speciale . Megjithatë, njihen shumë përafrime numerike të tyre.

Të dy funksionet janë të lidhura ngushtë, domethënë

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)]$

Për një shpërndarje normale të zakonshme me dendësi $f$, pritje matematike $\mu$ dhe devijimi $\sigma$, funksioni mbledhës i shpërndarjes është

$F(x)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]$

Një përafrim i shpejtë i CDF-së së shpërndarjes normale standarde mund të gjendet duke përdorur një përafrim nëpërmjet serisë Tejlor:

$\mathrm{\Phi }(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{k=0}^n\frac{{(-1)}^k{x}^{(2k+1)}}{2^{k}k!(2k+1)}$

Devijimi standard dhe mbulimi

Për shpërndarjen normale, vlerat më pak se një devijim standard larg mesatares përbëjnë 68.27% të grupit; ndërsa dy devijime standarde nga mesatarja përbëjnë 95.45%; dhe tre devijime standarde përbëjnë 99.73%.

Rreth 68% e vlerave të nxjerra nga një shpërndarje normale janë brenda një devijimi standard σ larg mesatares $[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ]$; rreth 95% e vlerave qëndrojnë brenda dy devijimeve standarde; dhe rreth 99.7% janë brenda tre devijimeve standarde. Ky fakt njihet si rregulli 68-95-99.7 (empirik), ose rregulli 3-sigma .

Më saktësisht, probabiliteti që një realizim (rast) i n.r me ligj normal të jetë në intervalin ndërmjet $\mu -n\sigma$ dhe $\mu +n\sigma$ jepet nga

$F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\mathrm{\Phi }(n)-\mathrm{\Phi }(-n)=\mathrm{erf}\left(\frac{n}{\sqrt{2}}\right).$

Vetitë

Shpërndarja normale është e vetmja shpërndarje kumulantët e së cilës përtej dy të parave (dmth., përveç mesatares dhe variancës ) janë zero. Është gjithashtu shpërndarja e vazhdueshme me entropinë maksimale për një mesatare dhe variancë të caktuar. Geary ka treguar, duke supozuar se mesatarja dhe varianca janë të fundme, se shpërndarja normale është e vetmja shpërndarje ku mesatarja dhe varianca e llogaritur nga një grup i pavaru janë të pavarura nga njëra-tjetra.

Shpërndarja normale është simetrike me bosht simetrie mesataren e saj dhe është jo zero mbi të gjithë vijën reale. Si e tillë, mund të mos jetë një model i përshtatshëm për variablat që janë në thelb pozitive ose shumë të anuara, si pesha e një personi ose çmimi i një aksioni . Ndryshore të tilla mund të përshkruhen më mirë nga shpërndarje të tjera, të tilla si shpërndarja log-normale ose shpërndarja Pareto .

Shpërndarja gausiane i përket familjes së shpërndarjeve të qëndrueshme. Me përjashtim të Gaussian-it që është një rast kufizues, të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme kanë bishta të rëndë dhe variancë të pafundme. Është një nga shpërndarjet e pakta që janë të qëndrueshme dhe që kanë funksione të densitetit të probabilitetit të cilat mund të shprehen në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja Cauchy dhe shpërndarja Lévy .

Shpërndarjet e ndërlidhura

Teorema e kufirit qendror

Ndërsa numri i ngjarjeve diskrete rritet, funksioni fillon të ngjajë me një shpërndarje normale

Teorema qendrore limite pohon se në kushte të caktuara (mjaft të zakonshme), shuma e shumë ndryshoreve të rastit do të ketë një shpërndarje afërsisht normale. Më konkretisht, kur $X_1,\dots ,X_n$ janë variabla të rastësishme të pavarura dhe të shpërndara identikisht me të njëjtën shpërndarje çfarëdo, mesatare zero dhe variancë ${\sigma }^2$ dhe $Z$ është mesatarja e tyre e shkallëzuar nga $\sqrt{n}$

$Z=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)$

Atëherë, kur $n$ rritet, shpërndarja e probabilitetit të $Z$ do të prirent drejt shpërndarjes normale me mesatare 0 dhe variancë ${\sigma }^2$ .

Teorema mund të shtrihet për variabla $(X_i)$ që nuk janë të pavarura dhe/ose jo të shpërndara identikisht nëse vendosen kufizime të caktuara mbi shkallën e varësisë dhe momentet e shpërndarjeve.

Teorema e kufirit qendror nënkupton gjithashtu që shpërndarje të caktuara mund të përafrohen me shpërndarjen normale, për shembull:

• Shpërndarja binomiale $B(n,p)$ është afërsisht normale me mesatare $np$ dhe variancë $np(1-p)$ për $n$ të mëdha dhe për vlera të $p$ jo shumë afër 0 ose 1.
• Shpërndarja Poisson me parametër $\lambda$ është afërsisht normale me mesatare $\lambda$ dhe variancë $\lambda$, për vlera të mëdha të $\lambda$ .
• Shpërndarja hi-katror ${\chi }^2(k)$ është afërsisht normale me mesatare $k$ dhe variancë $2k$, për vlera të mëdha të $k$ .
• Shpërndarja e studentit t $t(\nu )$ është afërsisht normale me mesatare 0 dhe variancë 1 kur $\nu$ është e madhe.

Nëse këto përafrime janë të sakta mjaftueshëm varet nga qëllimi për të cilin nevojiten dhe nga shkalla e konvergjencës me shpërndarjen normale. Zakonisht ndodh që përafrime të tilla janë më pak të sakta në bishtat e shpërndarjes.

Veprimet dhe funksionet e ndryshoreve normale

Dendësia e probabilitetit, shpërndarja kumulative dhe shpërndarja kumulative e anasjelltë e çdo funksioni të një ose më shumë ndryshoreve normale të pavarura ose të ndërlidhura mund të llogariten me metodën numerike të gjurmimit të rrezeve ( kodi Matlab ). Në seksionet e mëposhtme do të shohim disa raste të veçanta.

Veprimet mbi një ndryshore të vetme normale

Nëse $X$ ndjek një ligj normal me mesatare $\mu$ dhe variancë ${\sigma }^2$, atëherë

• $aX+b$, për çdo numër real $a$ dhe $b$, gjithashtu ndjek një shpërndarje normale, me mesatare $a\mu +b$ dhe devijim standard $|a|\sigma$ . Kjo do të thotë se familja e shpërndarjeve normale është e mbyllur nën transformimet lineare .
• Eksponenciali i $X$ shpërndahet log-normalisht : $e^X\sim \ln (N(\mu ,{\sigma }^2))$ .
• Vlera absolute e $X$ ka shpërndarje normale të palosshme : $\left|X\right|\sim N_f(\mu ,{\sigma }^2)$ . Nëse $\mu =0$ kjo njihet si shpërndarja gjysëm normale .
• Vlera absolute e mbetjeve të normalizuara, pra $|X-\mu |/\sigma$, ka shpërndarje hi me një shkallë lirie: $|X-\mu |/\sigma \sim {\chi }_1$ .
• Katrori i $X/\sigma$ ka shpërndarjen joqendrore hi-katrore me një shkallë lirie: $X^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_1^2({\mu }^2/{\sigma }^2)$ . Nëse $\mu =0$, shpërndarja quhet thjesht hi-katrore .
• $(X-\mu {)}^{-2}$ ka një shpërndarje Lévy me vendndodhje 0 dhe shkallë ${\sigma }^{-2}$ .

Veprimet në dy ndryshore normale të pavarura

• Nëse $X_1$ dhe $X_2$ janë dy ndryshore rasti normale të pavarura, me mesatare ${\mu }_1$, ${\mu }_2$ dhe devijime standarde ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, atëherë shuma e tyre $X_1+X_2$ gjithashtu do të ndjekë një shpërndarje normale, ^[prova] me mesatare ${\mu }_1+{\mu }_2$ dhe variancë ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ .
• Në veçanti, nëse $X$ dhe $Y$ janë normale të pavarura me mesatare 0 dhe variancë ${\sigma }^2$, atëherë $X+Y$ dhe $X-Y$ janë gjithashtu të pavarura dhe të shpërndara normalisht, me mesatare zero dhe variancë $2{\sigma }^2$ . Ky është një rast i veçantë i identitetit të polarizimit .
• Nëse $X_1$, $X_2$ janë dy n.r normale të pavarura me mesatare $\mu$ dhe devijim $\sigma$, dhe $a$, $b$ janë numra realë arbitrarë, atëherë ndryshorja:$$X_3=\frac{a{X}_1+b{X}_2-(a+b)\mu }{\sqrt{a^2+b^2}}+\mu$$$$X_3=\frac{a{X}_1+b{X}_2-(a+b)\mu }{\sqrt{a^2+b^2}}+\mu$$
• Nëse $X_k\sim 𝒩(m_k,{\sigma }_k^2)$, $k\in \{0,1\}$ janë shpërndarje normale, atëherë mesatarja e tyre gjeometrike e normalizuar $\frac{1}{\underset{{ℝ}^n}{\int }{X}_0^{\alpha }(x)X_1^{1-\alpha }(x)\text{d}x}{X}_0^{\alpha }{X}_1^{1-\alpha }$ është një shpërndarje normale $𝒩(m_{\alpha },{\sigma }_{\alpha }^2)$ me $m_{\alpha }=\frac{\alpha m_0{\sigma }_1^2+(1-\alpha )m_1{\sigma }_0^2}{\alpha {\sigma }_1^2+(1-\alpha ){\sigma }_0^2}$ dhe ${\sigma }_{\alpha }^2=\frac{{\sigma }_0^2{\sigma }_1^2}{\alpha {\sigma }_1^2+(1-\alpha ){\sigma }_0^2}$ (shih këtu për një vizualizim).

Veprimet në dy ndryshore normale standarde të pavarura

Nëse $X_1$ dhe $X_2$ janë dy n.r standarde të pavarura me mesatare 0 dhe variancë 1, atëherë

• Shuma dhe diferenca e tyre ndjek një shpërndarje normale me mesatare zero dhe variancë dy: $X_1\pm X_2\sim 𝒩(0,2)$ .
• Produkti i tyre $Z=X_1{X}_2$ ndjek shpërndarjen e produktit me funksionin e densitetit $f_Z(z)={\pi }^{-1}{K}_0(|z|)$ ku $K_0$ është funksioni Bessel i modifikuar i llojit të dytë . Kjo shpërndarje është simetrike rreth zeros, e pakufizuar në $z=0$, dhe ka funksionin karakteristik ${\varphi }_Z(t)=(1+t^2{)}^{-1/2}$ .
• Raporti i tyre ndjek shpërndarjen standarde Cauchy : $X_1/X_2\sim \mathrm{Cauchy}(0,1)$ .
• Norma e tyre Euklidiane $\sqrt{X_1^2+X_2^2}$ ka shpërndarjen Rayleigh .

Veprimet në shumë ndryshore normale të pavarura

• Çdo kombinim linear i n.r normale është ndryshore rasti normale.
• Nëse $X_1,X_2,\dots ,X_n$ janë ndryshore të rastit normale standarde dhe të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre ka shpërndarjen chi-katror me $n$ shkallë lirie $$X_1^2+\cdots +X_n^2\sim {\chi }_n^2.$$
• Nëse $X_1,X_2,\dots ,X_n$ janë n.r të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare $\mu$ dhe variancë ${\sigma }^2$, atëherë mesatarja e kampionit të tyre është e pavarur nga devijimi standard i mostrës. Raporti i këtyre dy madhësive do të ketë shpërndarjen e Studentit me $n-1$ shkallët e lirisë: $$t=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}=\frac{\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)-\mu }{\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}[(X_1-\bar{X}{)}^2+\cdots +(X_n-\bar{X}{)}^2]}}\sim t_{n-1}.$$
• Nëse $X_1,X_2,\dots ,X_n$, $Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$ janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë raporti i shumave të tyre të normalizuara të katrorëve do të ndjekë shpërndarjen F me (n, m ) shkallë lirie: $$F=\frac{(X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2)/n}{(Y_1^2+Y_2^2+\cdots +Y_m^2)/m}\sim F_{n,m}.$$

Ndodhja dhe aplikimet

Ndodhja e shpërndarjes normale në problemet praktike mund të klasifikohet lirshëm në katër kategori:

1. Shpërndarjet saktësisht normale;
2. Ligjet përafërsisht normale, për shembull kur një përafrim i tillë justifikohet nga teorema qendrore limite ; dhe
3. Shpërndarjet e modeluara si normale – shpërndarja normale është shpërndarja me entropinë maksimale për një mesatare dhe variancë të caktuar.
4. Problemet e regresionit - shpërndarja normale gjendet pasi efektet sistematike janë modeluar mjaft mirë.

Normalitet i saktë

Gjendja bazë e një oshilatori harmonik kuantik ka shpërndarjen Gausiane.

Madhësi të caktuara në fizikë shpërndahen normalisht, siç u demonstrua për herë të parë nga James Clerk Maxwell . Shembuj të madhësuve të tilla janë:

• Funksioni i densitetit të probabilitetit të një gjendjeje bazë në një oshilator kuantik harmonik .
• Pozicioni i një grimce që përjeton difuzion . Nëse fillimisht grimca ndodhet në një pikë specifike , atëherë pas t kohe, vendndodhja e saj përshkruhet nga një shpërndarje normale me variancë t, e cila kënaq ekuacionin e difuzionit . $\frac{\partial }{\partial t}f(x,t)=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f(x,t)$ . Nëse vendndodhja fillestare jepet nga një funksion i caktuar i densitetit $g(x)$, atëherë dendësia në kohën t është konvolucioni i g dhe PDF-së normale.

Normalitet i përafërt

Shpërndarjet përafërsisht normale ndodhin në shumë situata, siç shpjegohet nga TQL . Kur rezultati prodhohet nga shumë efekte të vogla që veprojnë në mënyrë mbledhëse dhe të pavarur, shpërndarja e tij do të jetë afër normales. Përafrimi normal nuk do të jetë i vlefshëm nëse efektet veprojnë në mënyrë shumëzuese (në vend të shtimit), ose nëse ka një ndikim të vetëm të jashtëm që ka një madhësi dukshëm më të madhe se efektet e tjera.

• Në problemet e numërimit, ku teorema qendrore limite përfshin një përafrim diskret në vazhdimësi dhe ku përfshihen shpërndarje pafundësisht të pjesëtueshme dhe të zbërthyeshme, si p.sh.
  • Ndryshore të rastit binomiale, të lidhura me variablat e përgjigjes binare;
  • Ndryshore të rastit Poisson, të lidhura me ngjarje të rralla;
• Rrezatimi termik ka një shpërndarje Bose-Einstein në shkallë shumë të shkurtra kohore dhe një shpërndarje normale në shkallë më të gjata kohore për shkak të teoremës së kufirit qendror.

Normalitet i supozuar

Histogrami i gjerësisë së sepalit për Iris versicolor nga grupi i të dhënave të luleve të Iris, me shpërndarjen normale ë të përshtatshme të mbivendosur.

Ka metoda statistikore për të testuar në mënyrë empirike atë supozim; shih seksionin e mësipërm të testeve të normalitetit .

• Në biologji, logaritmi i variableve të ndryshme priret të ketë një shpërndarje normale, domethënë, ata priren të kenë një shpërndarje log-normale (pas ndarjes në nënpopullatat meshkuj/femra), me shembuj që përfshijnë:
  • Matjet e madhësisë së indit të gjallë (gjatësia, lartësia, sipërfaqja e lëkurës, pesha);
  • Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë, në drejtim të rritjes ;mendohet se trashësia e lëvores së pemës gjithashtu i përket kësaj kategorie;
  • Disa matje fiziologjike, si presioni i gjakut tek njerëzit e rritur.
• Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të bursës supozohen normale (këto variabla sillen si interesi i përbërë, jo si interesi i thjeshtë dhe kështu janë shumëzues). Disa matematikanë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar se shpërndarjet log-Levy, të cilat posedojnë bishta të rëndë do të ishin një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve.
• Gabimet e matjes në eksperimentet fizike shpesh modelohen nga një shpërndarje normale. Ky përdorim i një shpërndarjeje normale nuk nënkupton që dikush po supozon se gabimet e matjes shpërndahen normalisht, përkundrazi përdorimi i shpërndarjes normale prodhon parashikimet më konservatore të mundshme duke pasur parasysh vetëm njohuritë rreth mesatares dhe variancës së gabimeve.
• Në testimin e standardizuar, rezultatet mund të bëhen që të kenë një shpërndarje normale ose duke zgjedhur numrin dhe vështirësinë e pyetjeve (si në testin IQ ) ose duke i transformuar rezultatet e testit të papërpunuara në rezultate "output" duke i përshtatur ato në shpërndarjen normale. Për shembull, diapazoni tradicional i SAT prej 200–800 bazohet në një shpërndarje normale me një mesatare prej 500 dhe një devijim standard prej 100.