Teorema Poisson e kufirit

Në teorinë e probabilitetit, ligji i ngjarjeve të rralla ose teorema Poisson e kufirit shpall se shpërndarja Poisson mund të përdoret si një përafrim i shpërndarjes binomiale, nën kushte të veçanta. Teorema u emërtua sipas Siméon Denis Poisson (1781–1840). Një përgjithësim i saj është teorema Le Cam.

Teorema

Le të jetë $p_n$ të jetë një sekuencë e numrave realë në $[0,1]$ të tillë që sekuenca $n{p}_n$ konvergjon në një kufi të fundëm $\lambda$ . Atëherë:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$

Provat

$\begin{array}{cc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}& \simeq \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^k+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}\frac{{\lambda }^k}{n^k}{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\lambda }^k}{k!}{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}.\end{array}$

Meqënëse

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{\lambda }{n})}^n=e^{-\lambda }$

dhe

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}=1,$

kjo jep

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\simeq \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}.$

Provat alternative

Duke përdorur përafrimin e Stirlingut, mund të shkruhet:

$\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}& =\frac{n!}{(n-k)!k!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}\\ & \simeq \frac{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}{\sqrt{2\pi (n-k)}{\left(\frac{n-k}{e}\right)}^{n-k}k!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\sqrt{\frac{n}{n-k}}\frac{n^n{e}^{-k}}{{(n-k)}^{n-k}k!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}.\end{array}$

Nëse $n\to \mathrm{\infty }$ dhe $np=\lambda$ :

$\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}& \simeq \frac{n^n{p}^k(1-p{)}^{n-k}{e}^{-k}}{{(n-k)}^{n-k}k!}\\ & =\frac{n^n{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}{e}^{-k}}{n^{n-k}{(1-\frac{k}{n})}^{n-k}k!}\\ & =\frac{{\lambda }^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}{e}^{-k}}{{(1-\frac{k}{n})}^{n-k}k!}\\ & \simeq \frac{{\lambda }^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^n{e}^{-k}}{{(1-\frac{k}{n})}^{n}k!}.\end{array}$

Meqë $n\to \mathrm{\infty }$, ${(1-\frac{x}{n})}^n\to e^{-x}$ kështu që:

$\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}& \simeq \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }{e}^{-k}}{e^{-k}k!}\\ & =\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}\end{array}$