Përafrimi i Stirlingut

Krahasimi i përafrimit të Stirlingut me faktorialin

Në matematikë, përafrimi i Stirlingut (ose formula e Stirlingut ) është një përafrim për faktorialët . Është një përafrim i mirë, që çon në rezultate të sakta edhe për vlera të vogla të $n$ . Është emërtuar sipas James Stirling, megjithëse një rezultat i lidhur, por më pak i saktë u shpall për herë të parë nga Abraham de Moivre . [1]

Një mënyrë për të deklaruar përafrimin përfshin logaritmin e faktorialit:$$\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n),$$ku shënimi O e madhe do të thotë se, për të gjitha vlerat mjaft të mëdha të $n$, dallimi mes $\ln (n!)$ dhe $n\ln n-n$ do të jetë të shumtën përpjestimor me logaritmin. Në zbatimet e shkencave kompjuterike të tilla si kufiri i poshtëm në rastin më të keq për renditjen krahasimore, është i përshtatshëm të përdoret në vend të kësaj logaritmi binar, duke dhënë formën ekuivalente$${\log }_2(n!)=n{\log }_{2}n-n{\log }_{2}e+O({\log }_{2}n).$$Termi i gabimit në secilën bazë mund të shprehet më saktë si $\frac{1}{2}\log (2\pi n)+O(\frac{1}{n})$, që korrespondon me një formulë të përafërt për vetë faktorialin,$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$$Këtu është shenja $\sim$ do të thotë që të dy anët e barazimit janë asimptotike, domethënë se raporti i tyre tenton drejt në 1 si $n$ tenton drejt infinitit. Versioni i mëposhtëm i kufirit vlen për të gjitha $n\ge 1$dhe jo vetëm asimptotikisht :$$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}.$$