I konjuguari kompleks

Paraqitja gjeometrike ( diagrami Argand ) i $z$ dhe konjuguar i saj $\bar{z}$ në rrafshin kompleks. I konjuguari kompleks gjendet duke reflektuar $z$ përgjatë boshtit real.

Në matematikë, konjugati kompleks i një numri kompleks është numri me një pjesë reale të barabartë dhe një pjesë imagjinare të barabartë në madhësi, por me shenjë të kundërt. Kjo është, nëse $a$ dhe $b$ janë numra realë atëherë konjugati kompleks i $a+bi$ është $a-bi.$ I konjuguari kompleks i $z$ shpesh shënohet si $\bar{z}$ ose $z^{*}$ .

Në trajtë polare, nëse $r$ dhe $\phi$ janë numra realë atëherë i konjuguari i $r{e}^{i\phi }$ është $r{e}^{-i\phi }.$ Kjo mund të tregohet duke përdorur formulën e Euler-it .

Prodhimi i një numri kompleks dhe i konjuguarit të tij është një numër real: $a^2+b^2$ (ose $r^2$ në koordinatat polare ).

Nëse rrënja e një polinomi të njëndryshueshëm me koeficientë realë është komplekse, atëherë i konjuguari i tij është gjithashtu një rrënjë .

Vetitë

Karakteristikat e mëposhtme vlejnë për të gjithë numrat kompleksë $z$ dhe $w,$ përveç rasteve kur thuhet ndryshe, dhe mund të vërtetohet me shkrim $z$ dhe $w$ në formë $a+bi.$

Për çdo dy numra kompleksë, konjugimi është shpërndarës mbi mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin: $$\begin{array}{cc}\overline{z+w}& =\bar{z}+\bar{w},\\ \overline{z-w}& =\bar{z}-\bar{w},\\ \overline{zw}& =\bar{z}\bar{w},\text{and}\\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}& =\frac{\bar{z}}{\bar{w}},\text{if }w\ne 0.\end{array}$$

Një numër kompleks është i barabartë me të konjuguarin e tij nëse pjesa imagjinare e tij është zero, domethënë nëse numri është real. Me fjalë të tjera, numrat realë janë pikat e vetme fikse të konjugimit.

Konjugimi nuk e ndryshon modulin e një numri kompleks: $\left|\bar{z}\right|=|z|.$

Konjugimi është një involucion, domethënë, konjugimi i të konjuguarit të një numri kompleks $z$ është $z.$ Në simbole, $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z.$

Prodhimi i një numri kompleks me të konjuguarin e tij është i barabartë me katrorin e modulit të numrit: $$z\bar{z}={\left|z\right|}^2.$$ Kjo lejon llogaritjen e lehtë të inversit shumëzues të një numri kompleks të dhënë në koordinata drejtkëndore: $$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2},\text{ for all }z\ne 0.$$

Konjugimi është ndërrues nën përbërjen me fuqi numrash të plotë, me funksionin eksponencial dhe me logaritmin natyror për argumente jozero: $$\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n,\text{ for all }n\in \mathbb{Z}$$ $$\exp \left(\bar{z}\right)=\overline{\exp (z)}$$$$\ln \left(\bar{z}\right)=\overline{\ln (z)}\text{ nëse }z\text{ është jozero ose një numër real negativ }$$

Nëse $p$ është një polinom me koeficientë realë dhe $p(z)=0,$ pastaj $p\left(\bar{z}\right)=0$ po ashtu. Kështu, rrënjët jo-reale të polinomeve reale ndodhin në çifte komplekse të konjuguara ( shih Teoremën e rrënjës së konjuguar komplekse ).

Në përgjithësi, nëse $\phi$ është një funksion holomorfik, kufizimi i të cilit në numrat realë është me vlerë reale, dhe $\phi (z)$ dhe $\phi (\bar{z})$ janë përcaktuar, atëherë $$\phi \left(\bar{z}\right)=\overline{\phi (z)}.$$

Përdorimi si ndryshore

Një herë një numër kompleks $z=x+yi$ ose $z=r{e}^{i\theta }$ është dhënë, i konjuguari i tij është i mjaftueshëm për të riprodhuar pjesët e ndryshores $z$ :

• Pjesa reale: $x=\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$
• Pjesa imagjinare: $y=\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
• Moduli (ose vlera absolute) : $r=\left|z\right|=\sqrt{z\bar{z}}$
• Argumenti : $e^{i\theta }=e^{i\arg z}=\sqrt{\frac{z}{\bar{z}}},$ pra $\theta =\arg z=\frac{1}{i}\ln \sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}=\frac{\ln z-\ln \bar{z}}{2i}$

Për më tepër, $\bar{z}$ mund të përdoret për të specifikuar linjat në rrafsh: bashkësia $$\{z:z\bar{r}+\bar{z}r=0\}$$ është një vijë përmes origjinës dhe pingul me $r,$ që nga pjesa reale e $z\cdot \bar{r}$ është zero vetëm kur kosinusi i këndit ndërmjet $z$ dhe $r$ është zero. Në mënyrë të ngjashme, për një njësi komplekse fikse $u=e^{ib},$ ekuacionin $$\frac{z-z_0}{\bar{z}-\overline{z_0}}=u^2$$ përcakton vijën përmes $z_0$ paralel me drejtëzën përmes 0 dhe $u.$