Vetia e ndërrimit

Paraqitje e vetisë ndërruese

  Në matematikë, një operacion binar është ndërrues nëse ndryshimi i renditjes së veprutasve nuk e ndryshon rezultatin. Është një veti themelore e shumë veprimeve binare, dhe shumë prova matematikore varen prej saj. Më i njohur si emri i vetisë që pohon diçka si Stampa:Nowrap ose Stampa:Nowrap, vetia mund të përdoret gjithashtu në cilësime më të përparuara. Emri është i nevojshëm sepse ka veprime, të tilla si pjesëtimi dhe zbritja, që nuk e kanë atë (për shembull, Stampa:Nowrap ); veprime të tilla nuk janë ndërruese, dhe kështu quhen veprime jondërruese . Ideja që veprimet e thjeshta, të tilla si shumëzimi dhe mbledhja e numrave, janë ndërruese, supozohej për shumë vite në mënyrë të nënkuptuar. Kështu, kjo veti nuk u emërtua deri në shekullin e 19-të, kur matematika filloi të zyrtarizohej. Një veti e ngjashme ekziston për marrëdhëniet binare ; një lidhje binare quhet simetrike nëse relacioni zbatohet pavarësisht nga radha e veprutasve të saj; për shembull, barazia është simetrike pasi dy objekte matematikore të barabarta janë të barabarta pavarësisht renditjes së tyre.

E ç'është vetia e ndërrimit?

Një veprim binar $*$ në një bashkësi S quhet ndërrues nëse $$x*y=y*x\text{për të gjitha }x,y\in S.$$Një veprim që nuk plotëson vetinë e mësipërme quhet jondërrues .

Njëri thotë se $x$ ndërron me $y$ ose se $x$ dhe $y$ lëvizin nën $*$ nëse$$x*y=y*x.$$

Shembuj

Mbledhja e mollëve, e cila mund të shihet si një mbledhje e numrave natyrorë, është ndërruese.

Veprimet ndërruese

Mlbedhja e vektorëve është ndërruese, sepse $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ .

• Mbledhja dhe shumëzimi janë ndërrues në shumicën e sistemeve të numrave, dhe, veçanërisht, midis numrave natyrorë, numrave të plotë, numrave racionalë, numrave realë dhe numrave kompleksë . Kjo është gjithashtu e vërtetë në çdo fushë .
• Mbledhja është ndërruese në çdo hapësirë vektoriale dhe në çdo algjebër .
• Bashkimi dhe kryqëzimi janë veprime ndërruese në bashkësi .
• " Dhe " dhe " ose " janë veprime logjike ndërruese.

Veprime jondërruese

Pjesëtimi, zbritja dhe ngritja në fuqi

Pjesëtimi është jondërrues, pasi $1÷2\ne 2÷1$ .

Zbritja është jondërruese, pasi $0-1\ne 1-0$ . Megjithatë klasifikohet më saktë si kundër-ndërruese, pasi $0-1=-(1-0)$ .

Eksponentimi është jondërrues, pasi $2^3\ne 3^2$ . Kjo veti çon në dy veprime të ndryshme "të anasjellta" të fuqisë (përkatësisht, veprimi i rrënjës me indeks <i id="mwcA">n</i> dhe operacioni i logaritmit ), i cili është i ndryshëm nga shumëzimi.

Shumëzimi i matricave

Shumëzimi matricor i matricave katrore është pothuajse gjithmonë jondërrues, për shembull:

$\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$

Prodhimi vektorial

Produkti vektorial (ose prodhimi kryq ) i dy vektorëve në tre dimensione është kundërndërrues ; dmth, b × a = −( a × b ).