Antiderivatet

Njeri nder lemenjt me te rendesishem te analizes matematike, i cili gjen zbatime te ndryshme ne zgjidhjen e problemeve qe para nesh shtrojne shkenca dhe teknika, pa dyshim eshte njehsimi integral. Integrali i pacaktuar eshte nje veprim i anasjellte me veprimin e derivimit dhe te diferencimit te funksionit nderkaq, integrali i caktuar eshte nje mjet i rendesishem per njehsimin e syprinave te siperfaqeve vijeperkulta dhe vellimeve te trupave.

Hyrje

Integrimi eshte thjesht proces i gjetjes se te gjitha funksioneve primitive te nje funksioni f. Andaj vlen ky perkufizim:

Integral i pacaktuar i funksionit f quhet bashkesia e te gjitha funksioneve primitive te funksionit f dhe shenohet me:

$\int f(x)\mathrm{d}x.$.

Ne kete rast shenja $\int$ njihet si shenja e integralit, f quhet funksioni nen integral, kurse f(x)dx quhet shprehja nen integral.

Integrali i Pacaktuar

Integralet thame jane te rendesishme sepse me to mund te llogaritim syprina te siperfaqeve dhe vellime. Andaj ne kete rast theksohet integrali i caktuar i cili njihet si Teorema Fundamentale e Analizes dhe matematikisht shprehet si:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$

Ne kete rast a dhe b jane kufinjte e integrimit.

Funksionet e integrueshme

Nder pyetjet me te rendesishme ne lidhje me integralet eshte se cilat funksione jane te integrueshme e cilat jo. Ne kete pyetje mund te pergjigjemi vetem nese bazohemi ne teorema te nxjerra ne lidhje me integralet. Jane shume funksione integralet e te cilave egzistojne por nuk mund te shprehen ne formen e tyre te fundme. DIsa shembuj te tyre jane:

$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x,\int \sin (x^2)\mathrm{d}x,\int \frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x,\int \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x,\int x^x\mathrm{d}x.$

Jane te njohura dy metoda te integrimit: Metoda e zevendesimit dhe Metoda integrimit te parcial.

Metoda e Zevendesimit

Le te jete f funksion i integrueshem ne intervalin (a,b) dhe $\varphi$:(a,b) funksion qe ka derivat te vazhdueshem ne (a,b). Atehere vlen:

$\underset{\varphi (a)}{\overset{\varphi (b)}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)dt.$

Integrimi Parcial

Le te jene u dhe v dy funksione te ndryshores x te derivueshme. Pra u=u(x) dhe v=v(x). Andaj kemi:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$

Apo ne menyre me kompakte kemi:

$\int udv=uv-\int vdu.$

Integrale te drejtperdrejta

Disa prej integraleve te drejperdrejta jane:

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\text{(for }a\ne -1\text{)}$

$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{1}{x}dx=\{\begin{array}{cc}\ln \left|x\right|+C^{-}& x<0\\ \ln \left|x\right|+C^{+}& x>0\end{array}$

$\int \frac{c}{ax+b}dx=\frac{c}{a}\ln |ax+b|+C$

Funksione Eksponenciale

$\int e^{x}dx=e^x+C$ $\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$ $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Funksione Trigonometrike

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

Referime

• Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 12 - Analize me teori te gjases.