Derivati parametrik

Në llogaritje, një derivat parametrik është një derivat i një ndryshoreje të varur në lidhje me një ndryshore tjetër të varur i cili merret kur të dy ndryshoret varen nga një ndryshore e tretë e pavarur, që zakonisht mendohet si madhësia "kohë" (d.m.th., kur ndryshoret e varura janë $x$ dhe $y$ dhe jepen me ekuacione parametrike të varura nga $t$ ).

Derivati i parë

Le të jenë $x(t)$ dhe $y(t)$ koordinatat e pikave të lakores të shprehura si funksione të një ndryshoreje t :

$y=y(t),x=x(t).$

Derivati i parë i llogaritur për këto ekuacione parametrike është

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)},$

ku shënimi $\dot{x}(t)$ tregon derivatin e x në lidhje me t . Kjo mund të nxirret duke përdorur rregullin e zinxhirit për derivatet:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

dhe duke i ndarë të dyja anët me $\frac{dx}{dt}$ për të dhënë ekuacionin e mësipërm.

Derivati i dytë

Derivati i dytë i një ekuacioni parametrik jepet nga relacioni:$$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}& =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\ & =\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot \frac{dt}{dx}\\ & =\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)\frac{1}{\dot{x}}\\ & =\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{{\dot{x}}^3}\end{array}$$

Shembull

Për shembull, merrni parasysh bashkësinë e funksioneve ku:

$x(t)=4t^2$

dhe

$y(t)=3t.$

Diferencimi i të dy funksioneve në lidhje me ndryshoren t çon në

$\frac{dx}{dt}=8t$

dhe

$\frac{dy}{dt}=3,$

përkatësisht. Duke i zëvendësuar këto në formulën për derivatin parametrik, marrim

$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{3}{8t},$

ku $\dot{x}$ dhe $\dot{y}$ kuptohen si funksione të t .