Ekuacioni Fokker–Planck

Një zgjidhje për ekuacionin njëdimensional Fokker–Planck, me termat e driftit dhe difuzionit. Në këtë rast, kushti fillestar është një funksion delta i Dirakut i përqendruar larg shpejtësisë zero. Me kalimin e kohës shpërndarja zgjerohet për shkak të impulseve të rastit.

Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, ekuacioni Fokker-Planck është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera. Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.

Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917. Njihet gjithashtu si ekuacioni i parmë i Kollmogorovit, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931.

Një dimension

Në një dimension hapësinor $x$, për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener $W_t$ dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)$$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\sigma (X_t,t)d{W}_t$$me drift $\mu (X_t,t)$ dhe koeficient difuzioni $D(X_t,t)={\sigma }^2(X_t,t)/2$, ekuacioni Fokker–Planck për densitetin e probabilitetit $p(x,t)$ të ndryshores së rastit $X_t$ është

$\frac{\partial }{\partial t}p(x,t)=-\frac{\partial }{\partial t}[\mu (x,t)p(x,t)]+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[D(x,t)p(x,t)]$Stampa:Equation box 1 Stampa:Hidden begin Në pasuesen përdoret, use $\sigma =\sqrt{2D}$.

Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël: $ℒ$ (the following can be found in Ref.): $$ℒp(X_t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\left(𝔼\right[p(X_{t+\mathrm{\Delta }t})\mid X_t=x]-p(x)).$$

Probabiliteti i kalimit ${\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })$, probabiliteti që të shkohet nga $(t^{\prime },x^{\prime })$ tek $(t,x)$, shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si $$𝔼(p(X_{t+\mathrm{\Delta }t})\mid X_t=x)=\int p(y){\mathbb{P}}_{t+\mathrm{\Delta }t,t}(y\mid x)dy.$$ Tani zëvëndësojmë përkufizimin e $ℒ$, shumëzoni me ${\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })$ dhe integroni mbi $dx$. Limiti merret mbi $$\int p(y)\int {\mathbb{P}}_{t+\mathrm{\Delta }t,t}(y\mid x){\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dxdy-\int p(x){\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dx.$$ Vëreni se $$\int {\mathbb{P}}_{t+\mathrm{\Delta }t,t}(y\mid x){\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dx={\mathbb{P}}_{t+\mathrm{\Delta }t,t^{\prime }}(y\mid x^{\prime }),$$ që është teorema Çapman Kollmogorov. Ndryshimi i ndryshores lolo $y$ në $x$, jep $$\begin{array}{c}\int p(x)\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}({\mathbb{P}}_{t+\mathrm{\Delta }t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })-{\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime }))dx,\end{array}$$ i cili është derivati i kohës. Më në fund arrijmë në $$\int [ℒp(x)]{\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dx=\int p(x){\partial }_t{\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dx.$$ Nga këtu mund të dalë ekuacioni i pasëm i Kollmogorovit. Nëse përdorim operatorin hermitian të konjuguar të $ℒ$, ${ℒ}^{†}$, të përcaktuar të tillë që $$\int [ℒp(x)]{\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })dx=\int p(x)[{ℒ}^{†}{\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })]dx,$$ atëherë arrijmë në ekuacionin e parmë të Kollmogorovit, ose ekuacionin Fokker-Planck, i cili, duke thjeshtuar shënimin $p(x,t)={\mathbb{P}}_{t,t^{\prime }}(x\mid x^{\prime })$, në formën diferenciale lexohet si $${ℒ}^{†}p(x,t)={\partial }_{t}p(x,t).$$

Mbetet çështja e përcaktimit troç të $ℒ$. Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs: $$𝔼(p(X_t))=p(X_0)+𝔼(\underset{0}{\overset{t}{\int }}({\partial }_t+\mu {\partial }_x+\frac{{\sigma }^2}{2}\underset{x}{\overset{2}{\partial }})p(X_{t^{\prime }})d{t}^{\prime }).$$

Pjesa që varet nga $d{W}_t$ zhduket për shkak të vetisë së martingalës.

Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur: $$ℒ=\mu {\partial }_x+\frac{{\sigma }^2}{2}\underset{x}{\overset{2}{\partial }},$$ mund të përllogaritet lehtësisht, duke përdorur integrimin me pjesë, se $${ℒ}^{†}=-{\partial }_x(\mu \cdot )+\frac{1}{2}\underset{x}{\overset{2}{\partial }}({\sigma }^2\cdot ),$$ që na sjell tek ekuacioni Fokker-Planck: $${\partial }_{t}p(x,t)=-{\partial }_x(\mu (x,t)\cdot p(x,t))+\underset{x}{\overset{2}{\partial }}(\frac{\sigma (x,t{)}^2}{2}p(x,t)).$$

Dimensionet më të larta

Në përgjithësi, nëse$$d{𝐗}_t=\mathit{\mu }({𝐗}_t,t)dt+\mathit{\sigma }({𝐗}_t,t)d{𝐖}_t,$$ku ${𝐗}_t$ dhe $\mathit{\mu }({𝐗}_t,t)$ janë vektorë N-dimensionalë, $\mathit{\sigma }({𝐗}_t,t)$ është një matricë $N\times M$ dhe ${𝐖}_t$ është një proces standard Wiener M -dimensional, dendësia e probabilitetit $p(𝐱,t)$ për ${𝐗}_t$ plotëson ekuacionin Fokker–PlanckStampa:Equation box 1$\frac{\partial }{\partial t}p(\mathbf{\text{x}},t)=-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}[{\mu }_i(\mathbf{\text{x}},t)p(\mathbf{\text{x}},t)]+\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i\partial x_j}[D_{i}j(\mathbf{\text{x}},t)p(\mathbf{\text{x}},t)]$

me vektor drift $\mathit{\mu }=({\mu }_1,\dots ,{\mu }_N)$ dhe tensori i difuzionit $𝐃=\frac{1}{2}{\mathit{\sigma }\mathit{\sigma }}^{𝖳}$, dmth$$D_{ij}(𝐱,t)=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^M{\sigma }_{ik}(𝐱,t){\sigma }_{jk}(𝐱,t).$$Nëse në vend të një EDS Itô , konsiderohet një EDS Stratonovich ,$$d{𝐗}_t=\mathit{\mu }({𝐗}_t,t)dt+\mathit{\sigma }({𝐗}_t,t)\circ d{𝐖}_t,$$ekuacioni Fokker–Planck do të shprehet si:  : $$\frac{\partial p(𝐱,t)}{\partial t}=-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}[{\mu }_i(𝐱,t)p(𝐱,t)]+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^M\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}\{{\sigma }_{ik}(𝐱,t)\sum _{j=1}^N\frac{\partial }{\partial x_j}[{\sigma }_{jk}(𝐱,t)p(𝐱,t)]\}$$

Shembuj

Procesi Wiener

Një proces standard skalar Wiener krijohet nga ekuacioni diferencial stokastik$$d{X}_t=d{W}_t.$$Këtu termi i driftit është zero dhe koeficienti i difuzionit është 1/2. Kështu është ekuacioni përkatës Fokker–Planck$$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}p(x,t)}{\partial x^2},$$e cila është forma më e thjeshtë e ekuacionit të difuzionit . Nëse kushti fillestar është $p(x,0)=\delta (x)$, zgjidhja është$$p(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{e}^{-x^2/(2t)}.$$

Shpërndarja e Bolcmanit në baraspeshën termodinamike

Ekuacioni Langevin i mbingarkuar$$d{x}_t=-\frac{1}{k_{B}T}({\mathrm{\nabla }}_{x}U)dt+d{W}_t$$jep ${\partial }_{t}p=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\cdot (\frac{p}{k_{B}T}\mathrm{\nabla }U+\mathrm{\nabla }p)$ . Shpërndarja Bolcman $p(x)\propto e^{-U(x)/k_{B}T}$ është një shpërndarje baraspeshe, dhe duke supozuar $U$ rritet mjaftueshëm shpejt (d.m.th., pusi potencial është mjaft i thellë për të kufizuar grimcën), shpërndarja Bolcman është ekuilibri unik.

Procesi Ornstein-Uhlenbeck

Procesi Ornstein-Uhlenbeck është një proces i përcaktuar si$$d{X}_t=-a{X}_{t}dt+\sigma d{W}_t.$$me $a>0$ . Fizikisht, ky ekuacion mund të motivohet si më poshtë: një grimcë në masë $m$ me shpejtësi $V_t$ duke lëvizur në një mjedis, p.sh., një lëng, do të përjetojë një forcë fërkimi që i reziston lëvizjes, madhësia e së cilës mund të përafrohet si e përpjesshme me shpejtësinë e grimcave $-a{V}_t$ me $a=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$ . Grimcat e tjera në mjedis do të godasin rastësisht grimcën ndërsa përplasen me të dhe ky efekt mund të përafrohet me një term të zhurmës së bardhë; $\sigma (d{W}_t/dt)$ . Ligji i dytë i Njutonit shkruhet si$$m\frac{d{V}_t}{dt}=-a{V}_t+\sigma \frac{d{W}_t}{dt}.$$Duke marrë $m=1$ për thjeshtësi dhe ndryshimin e shënimit si $V_t\to X_t$ çon në formën e njohur $d{X}_t=-a{X}_{t}dt+\sigma d{W}_t$ .

Ekuacioni përkatës Fokker–Planck është$$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=a\frac{\partial }{\partial x}(xp(x,t))+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}p(x,t)}{\partial x^2},$$Zgjidhja stacionare ( ${\partial }_{t}p=0$ ) është$$p_{ss}(x)=\sqrt{\frac{a}{\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{a{x}^2}{{\sigma }^2}}.$$