Faktori integrues

Në matematikë, një faktor integrues është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.

Përdorni

Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=A{y}^{2/3}$

ka për faktor integrues $\frac{dy}{dt}$ :

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{dy}{dt}=A{y}^{2/3}\frac{dy}{dt}.$

Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\right)=\frac{d}{dt}\left(A\frac{3}{5}{y}^{5/3}\right).$

Atëherë,

${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0.$

ku $C_0$ është një konstante.

Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë

$\underset{y(0)}{\overset{y(t)}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0}}=t$

Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë

Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi $M(x)$, i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është $e^{\int P(x)dx}$ .

Le të jetë $M(x)$ faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me $M(x)$ të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:

1. $M(x)\underset{\text{partial derivative}}{(\underbrace{y^{\prime }+P(x)y})}$
2. $M(x)y^{\prime }+M(x)P(x)y$
3. $\underset{\text{total derivative}}{\underbrace{M(x)y^{\prime }+M^{\prime }(x)y}}$

Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që $M(x)P(x)=M^{\prime }(x)$, i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep $M(x)$ ne kushtet e $P(x)$ :

2. $M(x)P(x)=M^{\prime }(x)$
3. $P(x)=\frac{M^{\prime }(x)}{M(x)}$
4. $\int P(x)dx=\ln M(x)+c$
5. $M(x)=C{e}^{\int P(x)dx}$

Për të verifikuar, duke shumëzuar me $M(x)$ jep

$M(x)y^{\prime }+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)$

Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në $x$

$M(x)y^{\prime }+P(x)M(x)y=M(x)y^{\prime }+M^{\prime }(x)y=\frac{d}{dx}(M(x)y)$

Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë

$\frac{d}{dx}(M(x)y)=Q(x)M(x)$

Integrimi i të dyja anëve sipas $x$ jep

$C{e}^{\int P(x)dx}y=\int Q(x)C{e}^{\int P(x)dx}dx$

$e^{\int P(x)dx}y=(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx)+C$

ku $C$ është një konstante.

Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx)+C{e}^{-\int P(x)dx}$

Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen, $Q(x)=0$ dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:

$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$ .

për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0.$

Këtë mund ta shohim se në këtë rast $P(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\underset{1}{\overset{x}{\int }}P(x)dx}$

$M(x)=e^{\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{-2}{x}dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)=\frac{1}{x^2}.$

Duke shumëzuar të dyja anët me $M(x)$ marrim

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si

$\frac{d(x^{-2}y)}{dx}=0$

Duke integruar të dyja anët në lidhje me $x$, ne marrim

$x^{-2}y=C$

ose

$y=C{x}^2$

I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^3-2x^{2}y}{x^5}=0$

$\frac{x(y^{\prime }{x}^2-2xy)}{x^5}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^2-2xy}{x^4}=0.$

Kthimi i rregullës së herësit jep

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

ose

$\frac{y}{x^2}=C,$

ose

$y=C{x}^2.$

ku $C$ është një konstante.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë

Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues $M(x)$ të tillë që duke u shumëzuar $y^{\prime }+p(x)y=h(x)$ nga ajo do të merrej $(M(x)y{)}^{\prime }=M(x)h(x)$, pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me $M(x)$ do të jepte $y$ . Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam $M(x)=e^{\int p(x)dx}$ të funksionojë si një faktor integrues, atëherë

$(M(x)y{)}^{″}=M(x)(y^{″}+2p(x)y^{\prime }+(p(x{)}^2+p^{\prime }(x))y)=M(x)h(x)$

Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë $y^{″}+2p(x)y^{\prime }+(p(x{)}^2+p^{\prime }(x))y=h(x)$ që faktori integrues të jetë i përdorshëm.

Shembulli 1

Për shembull, ekuacioni diferencial

$y^{″}+2x{y}^{\prime }+(x^2+1)y=0$

mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm $p(x)$ mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën $y^{\prime }$ . Në këtë rast, $2p(x)=2x$, kështu që $p(x)=x$ . Pas ekzaminimit të kufizës $y$ , ne shohim se ne në fakt kemi $p(x{)}^2+p^{\prime }(x)=x^2+1$, kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues $e^{\int xdx}=e^{x^2/2}$ . Kjo na jep

$e^{x^2/2}{y}^{″}+2e^{x^2/2}p(x)y^{\prime }+e^{x^2/2}(p(x{)}^2+p^{\prime }(x))y=0$

të cilat mund të riorganizohen për të dhënë

$\left(e^{x^2/2}y\right)=0$

Integrimi dy herë jep

$e^{x^2/2}y=c_{1}x+c_2$

Pjestimi me faktorin integrues jep:

$y=\frac{c_{1}x+c_2}{e^{x^2/2}}$

Shembulli 2

Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:

$y^{″}+2\cot (x)y^{\prime }-y=1$

Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë $2p(x)$ përpara $y^{\prime }$ por jo $p(x{)}^2+p^{\prime }(x)$ para $y$ . Megjithatë,

$p(x{)}^2+p^{\prime }(x)={\cot }^2(x)-{\csc }^2(x)$

dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me $\cot (x)$ dhe $\csc (x)$,

${\cot }^2(x)-{\csc }^2(x)=-1$

kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para $y$ dhe mund të përdorim faktorin integrues.

$e^{\int \cot (x)dx}=e^{\ln (\sin (x))}=\sin (x)$

Duke shumëzuar çdo kufizë me $\sin (x)$ jep

$\sin (x)y^{″}+2\cot (x)\sin (x)y^{\prime }-\sin (x)y=\sin (x)$

e cila është riorganizuar si

$(\sin (x)y{)}^{″}=\sin (x)$

Integrimi dy herë jep

$\sin (x)y=-\sin (x)+c_{1}x+c_2$

Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep

$y=c_{1}x\csc (x)+c_2\csc (x)-1$