Faktorizimi QR

Nga testwiki
Kërceni tek navigimi Kërceni tek kërkimi

Në algjebër lineare, një dekompozim QR, i njohur gjithashtu si faktorizimi QR ose zbërthimi QR, është një zbërthim i një matrice A në një prodhim A = QR të një matrice ortonormale Q dhe të një matrice trekëndore të sipërme R. Zbërthimi QR përdoret shpesh për të zgjidhur problemin e katrorëve më të vegjël dhe është baza për një algoritëm të veçantë të vlerave vetjake, algoritmin QR .

Rastet dhe përkufizimet

Matrica katrore

Çdo matricë katrore reale A mund të zbërthehet si

A=QR,

ku Q është një matricë ortogonale (kolonat e saj janë vektorë njësi ortogonalë që do të thotë Stampa:Nowrap dhe R është një matricë trekëndore e sipërme. Nëse A ka të anasjelltë, atëherë faktorizimi është unik nëse kërkojmë që elementet diagonale të R të jenë pozitive.

Matricë drejtkëndore

Në përgjithësi, ne mund të faktorizojmë një matricë komplekse m × n A, me Stampa:Nowrap, si prodhim i një matrice njësi m × m Q dhe një matrice trekëndore të sipërme, R, m × n . Duke qenë se rreshtat e poshtëm ( m − n ) të një matrice trekëndore të sipërme m × n përbëhen tërësisht nga zero, shpesh është e dobishme ta ndash R, ose të dyja R dhe Q :

A=QR=Q[R10]=[Q1Q2][R10]=Q1R1,

ku R 1 është një matricë n × n trekëndore e sipërme, 0 është një matricë zero Stampa:Nowrap, Q 1 është m × n, Q 2 është Stampa:Nowrap dhe Q 1 dhe Q 2 të dyja kanë shtylla ortogonale.

Llogaritja e dekompozimit QR

Ka disa metoda për llogaritjen reale të faktorizimit QR, të tilla si me anë të procesit Gram-Schmidt, shndërrimet Householder ose rrotullimet Givens . Secili ka një numër përparësish dhe mangësish.

Duke përdorur procesin Gram-Schmidt

Konsideroni procesin Gram-Schmidt të zbatuar mbi shtyllat e matricës me rank të plotë Stampa:Nowrap me prodhim të brendshëm ⟨𝐯,𝐰⟩=𝐯T𝐰 (ose ⟨𝐯,𝐰⟩=𝐯†𝐰 për rastin kompleks).

Përcaktoni projeksionin :

proj𝐮𝐚=⟨𝐮,𝐚⟩⟨𝐮,𝐮⟩𝐮

pastaj:

𝐮1=𝐚1,𝐞1=𝐮1‖𝐮1‖𝐮2=𝐚2−proj𝐮1𝐚2,𝐞2=𝐮2‖𝐮2‖𝐮3=𝐚3−proj𝐮1𝐚3−proj𝐮2𝐚3,𝐞3=𝐮3‖𝐮3‖⋮⋮𝐮k=𝐚k−∑j=1k−1proj𝐮j𝐚k,𝐞k=𝐮k‖𝐮k‖

Tani mund të shprehim 𝐚i s mbi bazën tonë ortonormale të llogaritur rishtazi:

𝐚1=⟨𝐞1,𝐚1⟩𝐞1𝐚2=⟨𝐞1,𝐚2⟩𝐞1+⟨𝐞2,𝐚2⟩𝐞2𝐚3=⟨𝐞1,𝐚3⟩𝐞1+⟨𝐞2,𝐚3⟩𝐞2+⟨𝐞3,𝐚3⟩𝐞3⋮𝐚k=∑j=1k⟨𝐞j,𝐚k⟩𝐞j

ku ⟨𝐞i,𝐚i⟩=‖𝐮i‖. Kjo mund të shkruhet në formën matricore si:

A=QR

ku:

Q=[𝐞1⋯𝐞n]

dhe

R=[⟨𝐞1,𝐚1⟩⟨𝐞1,𝐚2⟩⟨𝐞1,𝐚3⟩⋯⟨𝐞1,𝐚n⟩0⟨𝐞2,𝐚2⟩⟨𝐞2,𝐚3⟩⋯⟨𝐞2,𝐚n⟩00⟨𝐞3,𝐚3⟩⋯⟨𝐞3,𝐚n⟩⋮⋮⋮⋱⋮000⋯⟨𝐞n,𝐚n⟩].

Shembull

Merrni parasysh zbërthimin e

A=[12−5146167−68−424−41].

Kujtojmë se një matricë ortonormale Q ka vetinë Stampa:Nowrap

Atëherë mund të llogarisim Q me anë të procedurës Gram-Schmidt si më poshtë:

U=[𝐮1𝐮2𝐮3]=[12−69−58/561586/5−430−33];Q=[𝐮1‖𝐮1‖𝐮2‖𝐮2‖𝐮3‖𝐮3‖]=[6/7−69/175−58/1753/7158/1756/175−2/76/35−33/35].

Kështu, ne përftojmë

QTA=QTQR=R;R=QTA=[1421−140175−700035].
Marrë nga "https://sq.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Faktorizimi_QR&oldid=730"