Formula Cauchy për integrimin e përsëritur

Formula e Koshiut për integrimin e përsëritur, e quajtur sipas Augustin-Louis Cauchy, lejon që të ngjeshen n integrale të pacaktuara të një funksioni, në një integral të vetëm (krh. formulën e Cauchy-së ).

Rasti skalar

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në vijën reale. Pastaj integrali i n- të i përsëritur i f me pikën bazë a, $$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1,$$ jepet me integrim të vetëm $$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Prova

Një provë jepet me induksion . Rasti bazë me n=1 është i parëndësishëm, pasi është i njëvlershëm me:

$$f^{(-1)}(x)=\frac{1}{0!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{0}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$$ Tani, supozoni se kjo është e vërtetë për n, dhe le ta vërtetojmë atë për n +1. Së pari, duke përdorur rregullin integral të Lajbnicit, vini re se

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Pastaj, duke zbatuar hipotezën e induksionit,

$$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}[\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ \end{array}$$

Vini re, termi brenda kllapës katrore ka n-herë integrim të njëpasnjëshëm dhe kufiri i sipërm i integralit më të jashtëm brenda kllapës katrore është ${\sigma }_1$ . Kështu, duke krahasuar me rastin për n=n, dhe duke zëvendësuar $x,{\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n$ të formulës në hapin e induksionit n=n me ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_{n+1}$ përkatësisht për të marrë

$$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2& =\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\\ \end{array}$$

Vendosja e kësaj shprehje brenda kllapës katrore rezulton në

$$\begin{array}{cc}& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }_1}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

• Është treguar se ky pohim është i vërtetë për rastin bazë $n=1$ .
• Nëse pohimi është i vërtetë për $n=k$, atëherë është treguar se pohimi është i vërtetë për $n=k+1$ .
• Kështu ky pohim është vërtetuar për të gjithë numrat e plotë pozitivë.

Kjo plotëson provën.

Përgjithësime dhe zbatime

Formula Cauchy përgjithësohet në parametra jo të plotë nga integrali Riemann-Liouville, ku $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ zëvendësohet nga $\alpha \in ℂ,\mathrm{\Re }(\alpha )>0$, dhe faktoriali zëvendësohet nga funksioni gama . Dy formulat pajtohen kur $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ .

Të dy formula Cauchy dhe integrali Riemann-Liouville përgjithësohen në dimensione arbitrare nga potenciali Riesz .