Formula e Heronit

Një trekëndësh me brinjë a, b dhe c

Në gjeometri, formula e Heronit (ose formula e Heroit ) jep syprinën A të një trekëndëshi në terma të tre gjatësive të brinjëve a, b, c . Nëse $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ është gjysmëperimetri i trekëndëshit, sipërfaqja është,

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Ai është emëruar sipas inxhinierit të shekullit të parë Heronit të Aleksandrisë (ose Heroi) i cili e vërtetoi atë në veprën e tij Metrica, megjithëse ndoshta ishte e njohur shekuj më parë.

Shembull

Le të jetë △ABC trekëndëshi me brinjë a = 4, b = 13 dhe c = 15 . Gjysmëperimetri i këtij trekëndëshi është:

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+13+15}{2}=16$

dhe kështu është syprina është

$\begin{array}{cc}A& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}\\ & =\sqrt{16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{576}=24.\end{array}$

Në këtë shembull, gjatësitë e brinjëve dhe syprina janë numra të plotë, duke e bërë atë një trekëndësh Heronian . Sidoqoftë, formula e Heronit funksionon po aq mirë në rastet kur një ose më shumë nga gjatësitë e brinjëve nuk janë numra të plotë.

Shprehje alternative

Formula e Heronit gjithashtu mund të shkruhet vetëm në lidhje me gjatësinë e brinjëve në vend të përdorimit të gjysmëperimetrit, në disa mënyra,

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^2+b^2+c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}.\end{array}$

I njëjti relacion mund të shprehet duke përdorur përcaktorin Cayley-Menger ,

$-16A^2=\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|.$

Vërtetimet

Vërtetimi trigonometrik duke përdorur ligjin e kosinusit

Një provë moderne, e cila përdor algjebërën dhe është krejt e ndryshme nga ajo e dhënë nga Heroni, vijon si më poshtë. Le të jenë a, b, c brinjët e trekëndëshit dhe α, β, γ këndet përballë atyre brinjëve. Duke zbatuar ligjin e kosinusit marrim

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Nga kjo provë, marrim lidhjen algjebrike që

$\sin \gamma =\sqrt{1-{\cos }^2\gamma }=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}.$

Lartësia e trekëndëshit në bazën a ka gjatësi b sin γ, dhe vijon

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}(\text{bazë})(\text{lartësi})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \gamma \\ & =\frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

Vërtetimi algjebrik duke përdorur teoremën e Pitagorës

Trekëndëshi me lartësi $h$ baza prerëse $c$ në $d+(c-d)$

Prova e mëposhtme është shumë e ngjashme me atë të dhënë nga Raifaizeni. Nga teorema e Pitagorës kemi $b^2=h^2+d^2$ dhe $a^2=h^2+(c-d{)}^2$ sipas figurës në të djathtë. Nga zbritja e këtyre rezulton $a^2-b^2=c^2-2cd$ . Ky ekuacion na lejon të shprehim $d$ në terma të brinjëve të trekëndëshit:

$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}.$

Për lartësinë e trekëndëshit marrim $h^2=b^2-d^2$ . Duke zëvendësuar d me formulën e dhënë më sipër dhe duke zbatuar identitetin e diferencës së katrorëve, marrim

$\begin{array}{cc}{h}^2& =b^2-{\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & =\frac{((b+c{)}^2-a^2\left)\right(a^2-(b-c{)}^2)}{4c^2}\\ & =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & =\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}.\end{array}$

Tani e zbatojmë këtë rezultat në formulën që llogarit syprinën e një trekëndëshi nga lartësia e tij:

$\begin{array}{cc}A& =\frac{ch}{2}\\ & =\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

Qendrueshmëria numerike

Formula e Heronit siç është dhënë më sipër është numerikisht e paqëndrueshme për trekëndëshat me një kënd shumë të vogël kur përdoret aritmetika me presje notuese . Një alternativë e qëndrueshme përfshin rregullimin e gjatësive të anëve në mënyrë që a ≥ b ≥ c dhe llogaritjen

$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}.$

Kllapat në formulën e mësipërme kërkohen për të parandaluar paqëndrueshmërinë numerike në vlerësim.

Përgjithësimet

Katërkëndëshi ciklik

Formula e Heronit është një rast i veçantë i formulës së Brahmaguptës për sipërfaqen e një katërkëndëshi ciklik . Formula e Heronit dhe formula e Brahmaguptës janë të dyja raste të veçanta të formulës së Bretschneider-it për sipërfaqen e një katërkëndëshi . Formula e Heronit mund të merret nga formula e Brahmagupta-s ose formula e Bretschneider-it duke bërë zero njërën nga anët e katërkëndëshit.

Formula e Brahmagupta-s jep sipërfaqen K të një katërkëndëshi ciklik brinjët e të cilit kanë gjatësi a, b, c, d si më poshtë

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ku s, gjysmëperimetri, është përcaktuar të jetë

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Formula e tipit heron për vëllimin e një tetraedri

Nëse U, V, W, u, v, w janë gjatësitë e skajeve të tetraedrit (tre të parat formojnë një trekëndësh; u përballë U e kështu me radhë), atëherë

$V=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{192uvw}$

ku shprehjet në të përkatësisht janë:

$\begin{array}{cc}a& =\sqrt{xYZ}\\ b& =\sqrt{yZX}\\ c& =\sqrt{zXY}\\ d& =\sqrt{xyz}\\ X& =(w-U+v)(U+v+w)\\ x& =(U-v+w)(v-w+U)\\ Y& =(u-V+w)(V+w+u)\\ y& =(V-w+u)(w-u+V)\\ Z& =(v-W+u)(W+u+v)\\ z& =(W-u+v)(u-v+W).\end{array}$

Formulat e Heronit në gjeometritë jo-Euklidiane

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjatësisë së brinjëve të tij për trekëndëshat në sferë ose planin hiperbolik . Për një trekëndësh në sferë me gjatësi anësore $a,b,c$, gjysmë perimetri $s=(a+b+c)/2$ dhe zona $S$ një formulë e tillë është$${\tan }^2\frac{S}{4}=\tan \frac{s}{2}\tan \frac{s-a}{2}\tan \frac{s-b}{2}\tan \frac{s-c}{2}$$ndërsa për rrafshin hiperbolik kemi$${\tan }^2\frac{S}{4}=\tanh \frac{s}{2}\tanh \frac{s-a}{2}\tanh \frac{s-b}{2}\tanh \frac{s-c}{2}.$$