Formulat e Cramerit

Formulat e Cramerit japin zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve lineare kur numri i të panjohurave është i barabarte me numrin e ekuacioneve.

Këto formula i ka zbuluar matematikani zviceran Gabriel Cramer (1704-1752).

Për sistemin prej dy dhe tre ekuacioneve lineare me dy respektivisht tre të panjohura ato janë :

$\{\begin{array}{cc}ax+by& =e\\ cx+dy& =f\end{array}$

i cili në forme të matricës shkruhet si më poshtë

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right].$

Atëherë të panjohurat, x dhe y gjinden sipas rregullit të Cramerit

$x=\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

dhe

$y=\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{af-ec}{ad-bc}.$

për sistemin me tre të panjohura kemi

$\{\begin{array}{cc}ax+by+cz& =j\\ dx+ey+fz& =k\\ gx+hy+iz& =l\end{array}$

me matrica

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right]$

vlerat e x, y dhe z janë :

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},\text{ and }z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}.$

ku

$x,y$ dhe $z$ janë tri të panjohurat e sistemit (rrënjët/zgjidhja e sistemit), $D_x,D_y$ dhe $D_z$ përcaktorët karakteristikë të sistemit dhe $D$ - përcaktori kryesor i sistemit.