Funksionet me shumë variabla

Përkufizimi

Rregulla ƒ sipas së cilës çdo pikë $M(x,y)$ nga një zonë D (domeni i funksionit) në sistemin koordinativ xoy i korrespondohet një dhe vetëm një numër real z nga bashkësia numerike R (kodomeni i funksionit) dhe çdo numri nga R i përgjigjet së paku një pikë nga D, e quajmë funksion me dy variabla. dhe simbolikisht shënohet $z=f(M)$ ose $z=f(x,y).$

Grafiku i funksionit

Grafiku i funksionit f(x, y) = sin(x²)·cos(y²).

Grafiku i funksionit $z=f(x,y).$ zakonisht paraqet një sipërfaqe, ndërprerjet e saj me rrafshe paralele $z=c$ janë lakore, projeksionet e të cilave në rrafshin xOy kanë ekuacionet $f(x,y)=c$ dhe quhen lakore nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen sipërfaqe nivelore.

Limiti i funksionit

Rrethinë me rreze δ ose δ-rrethinë të pikës M₀(x₀,y₀) në rrafshin xOy e quajmë bashkësinë e të gjitha pikave $M(x,y)$ që gjenden brenda rrethit me rreze δ e me qendër në pikën M₀. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës D në qoftë se në çdo δ-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë M₀ e ndryshme nga M e cila i takon zonës D. Pika M₀ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës D. Numrin A e quajmë limit të funksionit ƒ në pikën e grumbullimit M₀ të domenit D në qoftë se për çdo

$\epsilon >0$

sado të vogël, mund të gjendet $\delta >0$

e tillë që për çdo pikë $M(x,y)$ nga δ- rrethina e pikës M₀ vlen

$|f(x)-A|<\epsilon$.

simbolikisht shënohet $z=f(M)$ ose $z=f(x,y).$, ose

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x(0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon ).$

Pika M mund të tentoj në pikën M₀ në mënyrë të çfarëdoshme , nëpër ndojnë segment, lakore etj.Nëse eksiston limiti i funksionit ƒ në pikën M₀ atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën M → M₀.

Vazhdueshmëria e funksionit

Le të jetë $z=f(x,y)$ funksion i përkufizuar në zonën D dhe M₀(x₀,y₀) një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni ƒ quhet i vazhdueshëm në pikën M₀ në qoftë se

$\underset{a\to c}{\lim }f(a)=f(c)$

ku a = $M(x,y)$ dhe c = M₀(x₀,y₀).

Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në një bashkësi D në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë D. Le të jetë $Z=(x,y)$ funksion i dy variablave dhe Δx e Δy shtesat e variablave x e y, atëherë diferencën

$\mathrm{\Delta }z=f(𝐱+\mathrm{\Delta }𝐱,𝐲+\mathrm{\Delta }𝐲)-f(𝐱,𝐲).$

e quajmë shtesa totale e funksionit ƒ në pikën $(x,y)$ , ndërsa diferencat

$\mathrm{\Delta }{z}_x=f(𝐱+\mathrm{\Delta }𝐱,𝐲)-f(𝐱,𝐲).$

dhe

$\mathrm{\Delta }{z}_y=f(𝐱,𝐲+\mathrm{\Delta }𝐲)-f(𝐱,𝐲).$

i quajmë shtesa parciale e funksionit ƒ në pikën $(x,y)$ në lidhje me argumentet x e y. Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M₀ nëse

$\underset{a\to c}{\lim }\mathrm{\Delta }z=0$.

ku c = $M(x,y)$ kurse a = $M_0(x_0,y_0)$.

Në qoftë se

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }{z}_x=0$

atëherë themi se funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën $M_0(x_0,y_0)$ në lidhje me variablën x. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas y

$\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }{z}_y=0$.

Nëse funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën $M_0(x_0,y_0)$ atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen. Operacionet e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme.

Vazhdueshmëria.

Referime

• Stampa:Cite book

Për më tepër

• Ekuacionet e shkallës së përgjithshme
• Ekuacione diferenciale
• Funksionet trigonometrike
• Bashkësitë