Funksioni i mysët

Në matematikë, një funksion i mysët është negativi i një funksioni të lugët . Një funksion i mysët quhet gjithashtu sinonimisht konkav.

Përkufizimi

Një funksion me vlera reale $f$ në një interval (ose, në përgjithësi, një grup i lugët në hapësirën vektoriale ) thuhet se është i mysët nëse, për ndonjë $x$ dhe $y$ në interval dhe për çdo $\alpha \in [0,1]$,

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\ge (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

Një funksion quhet rreptësisht i mysët nëse

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

për çdo $\alpha \in (0,1)$ dhe $x\ne y$ .

Për një funksion $f:ℝ\to ℝ$, ky përkufizim i dytë thotë se për çdo $z$ rreptësisht ndërmjet $x$ dhe $y$, pika $(z,f(z))$ në grafikun e $f$ është mbi vijën e drejtë që bashkon pikat $(x,f(x))$ dhe $(y,f(y))$ .

Vetitë

Funksionet me një ndryshore

1. Një funksion i diferencueshëm f është (rreptësisht) i mysët në një interval nëse dhe vetëm nëse funksioni i tij derivat f ′ është (rreptësisht) monotonisht zbritës në atë interval, domethënë, një funksion konkav ka një pjerrësi jo në rritje (zvogëluese).
2. Pikat ku natyra e funksionit ndryshon (midis konkave dhe konvekse ) janë pika përkuljeje .
3. Nëse $f$ është dy herë i diferencueshëm, atëherë f është i mysët nëse dhe vetëm nëse $f^{″}$është jopozitiv (ose, joformalisht, nëse " nxitimi " është jo pozitiv). Nëse derivati i dytë i tij është negativ, atëherë ai është rreptësisht i mysët, por e kundërta nuk është e vërtetë, siç tregohet nga $f(x)=-x^4$ .
4. Nëse $f$ është i mysët dhe i diferencueshëm, atëherë ai kufizohet më lart nga përafrimi i saj Tejlorit i rendit të parë: $$f(y)\le f(x)+f^{\prime }(x)[y-x]$$
5. Një funksion i matshëm i Lebegut në një interval C është i mysët nëse dhe vetëm nëse është i mysët në pikën e mesit, domethënë për çdo x dhe y në C $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$$
6. Nëse një funksion $f$ është i mysët dhe $f(0)\ge 0$, atëherë $f$ është nënshtues në $[0,\mathrm{\infty })$ . Prova:
   • Meqenëse f është i mysët dhe 1 ≥ t ≥ 0, duke lënë y = 0 kemi $$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\ge tf(x)+(1-t)f(0)\ge tf(x).$$
   • Për $a,b\in [0,\mathrm{\infty })$ : $$f(a)+f(b)=f((a+b)\frac{a}{a+b})+f((a+b)\frac{b}{a+b})\ge \frac{a}{a+b}f(a+b)+\frac{b}{a+b}f(a+b)=f(a+b)$$

Funksionet me n ndyshore

1. Një funksion $f$ është konkav mbi një grup të lugët nëse dhe vetëm nëse funksioni $-f$është një funksion i lugët mbi bashkësinë.
2. Shuma e dy funksioneve të mysta është në vetvete i mysët dhe po kështu është edhe minimumi pikësor i dy funksioneve të mysët, dmth grupi i funksioneve të mysët në një bashkësi të caktuar nga një gjysmëfushë .
3. Pranë një maksimumi vendor në brendësi të BP të një funksioni, funksioni duhet të jetë i mysët; si e kundërt e pjesshme, nëse derivati i një funksioni rreptësisht të mysët është zero në një pikë, atëherë ajo pikë është një maksimum vendor.
4. Çdo maksimum vendor i një funksioni i mysët është gjithashtu një maksimum botëror . Një funksion rreptësisht i mysët do të ketë më së shumti një maksimum botëror.

Shembuj

• Funksionet $f(x)=-x^2$ dhe $g(x)=\sqrt{x}$ janë të mysëta në domenet e tyre, sepse derivatet e dyta të tyre $f^{″}(x)=-2$ dhe $g^{″}(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}$ janë gjithmonë negative.
• Funksioni logaritmik $f(x)=\log x$ është konkave në domenin e saj $(0,\mathrm{\infty })$, si derivat i tij $\frac{1}{x}$ është një funksion rreptësisht zbritës.
• Çdo funksion afin $f(x)=ax+b$ është edhe i mysët edhe i lugët, por as rreptësisht i mysët dhe as rreptësisht i lugët.
• Funksioni sinus është konkav në interval $[0,\pi ]$ .
• Funksioni $f(B)=\log |B|$, ku $|B|$ është përcaktori i një matrice B jonegative-përcaktuar, është i mysët.

Zbatimet

• Rrezet që përkulen në llogaritjen e dobësimit të radiovalëve në atmosferë përfshijnë funksione konkave.
• Në teorinë e dobisë së pritshme për zgjedhjen nën pasiguri, funksionet kryesore të dobisë së vendimmarrësve ndaj rrezikut janë konkave.
• Në teorinë mikroekonomike, funksionet e prodhimit zakonisht supozohen të jenë konkave mbi disa ose të gjitha fushat e tyre, duke rezultuar në zvogëlimin e kthimit të faktorëve të hyrjes.