Funksioni i rrumbullakët

Në topologji dhe në kalkulus, një funksion i rrumbullakët është një funksion skalar $M\to ℝ$, mbi një manifold $M$, pikat kritike të të cilave formojnë një ose disa komponentë të lidhur, secili homeomorfik me rrethin $S^1$, të quajtura edhe laqe (loops) kritike. Janë raste të veçanta të funksioneve Morse-Bott .

Rrethi i zi në një nga këto laqe kritike.

Për shembull

Për shembull, le të jetë $M$ një torus . Le të jetë

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).$

Atëherë ne dimë se një hartë

$X:K\to {ℝ}^3$

e dhënë nga

$X(\theta ,\varphi )=((2+\cos \theta )\cos \varphi ,(2+\cos \theta )\sin \varphi ,\sin \theta )$

është një parametrizim për pothuajse gjithë $M$. Tani, përmes projeksionit ${\pi }_3:{ℝ}^3\to ℝ$ marrim kufizimin

$G={\pi }_3{|}_M:M\to ℝ,(\theta ,\varphi )\mapsto \sin \theta$

$G=G(\theta ,\varphi )=\sin \theta$ është një funksion, grupet kritike të të cilit përcaktohen nga

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}G(\theta ,\varphi )=(\frac{\partial G}{\partial \theta },\frac{\partial G}{\partial \varphi })(\theta ,\varphi )=(0,0),$

kjo është nëse dhe vetëm nëse $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ .

Këto dy vlera për $\theta$ jepni grupet kritike

$X(\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,1)$

$X(3\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,-1)$

të cilat përfaqësojnë dy rrathë të skajshëm mbi torusin $M$ .

Vëreni se Hesiani për këtë funksion është

$\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=\left[\begin{array}{cc}-\sin \theta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

e cila qartë e zbulon veten si ranku i $\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)$ i barabartë me një në rrathët e etiketuar, duke e bërë pikën kritike të degjeneruar, domethënë, duke treguar se pikat kritike nuk janë të izoluara.