Funksioni i sheshtë

Funksioni $y(x\ne 0)=e^{-1/x^2},$$y(0)=0$ është e sheshtë në $x=0$ .

Në matematikë, veçanërisht në analizën reale, një funksion i sheshtë është një funksion i lëmuar $f:ℝ\to ℝ$ të gjitha derivatet e të cilit zhduken në një pikë të caktuar $x_0\in ℝ$ . Funksionet e sheshta janë, në një farë mënyre, antiteza e funksioneve analitike . Një funksion analitik $f:ℝ\to ℝ$ jepet nga një seri fuqie konvergjente në afërsi të një pike $x_0\in ℝ$ :

$f(x)\sim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$

Në rastin e një funksioni të sheshtë, të gjitha derivatet zhduken në $x_0\in ℝ$, dmth $f^{(k)}(x_0)=0$ per te gjithe $k\in \mathbb{N}$ . Kjo do të thotë se një zgjerim kuptimplotë i serisë së Tejlorit në një zonë rrethuese të $x_0$ është i pamundur. Në gjuhën e teoremës së Tejlorit, pjesa jokonstante e funksionit qëndron gjithmonë në pjesën e mbetur. $R_n(x)$ per te gjithe $n\in \mathbb{N}$ .

Shembull

Funksioni i përcaktuar nga

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/x^2}& \text{if }x\ne 0\\ 0& \text{if }x=0\end{array}$

është i sheshtë në $x=0$ . Kështu, ky është një shembull i një funksioni të lëmuar jo-analitik . Natyra patologjike e këtij shembulli zbulohet pjesërisht nga fakti se zgjatimi i tij në numrat kompleksë, në fakt, nuk është i diferencueshëm .