Gradient

Gradienti, i përfaqësuar nga shigjetat blu, tregon drejtimin e ndryshimit më të madh të një funksioni skalar. Vlerat e funksionit paraqiten në shkallë gri dhe rriten në vlerë nga e bardha (e ulët) tek e errta (e lartë).

Në analizën matematike vektoriale, gradienti i një funksioni të diferencueshëm me vlera skalare $f$ i disa ndryshoreve është fusha vektoriale (ose funksioni me vlerë vektoriale ) $\mathrm{\nabla }f$ vlera e të cilit në një pikë $p$ është "drejtimi dhe shkalla e rritjes më të shpejtë". Nëse gradienti i një funksioni është jo zero në një pikë $p$, drejtimi i gradientit është drejtimi në të cilin funksioni rritet më shpejt nga $p$, dhe madhësia e gradientit është shpejtësia e rritjes në atë drejtim, derivati më i madh absolut i drejtimit. Më tej, një pikë ku gradienti është vektori zero njihet si një pikë e palëvizshme . Pra, gradienti luan një rol themelor në teorinë e optimizimit, ku përdoret për të maksimizuar një funksion me ngritje të gradientit . Në terma pa koordinata, gradienti i një funksioni $f(𝐫)$ mund të përcaktohet nga:$$df=\mathrm{\nabla }f\cdot d𝐫$$ku $df$ është ndryshimi total pambarisht i vogël në $f$ për një zhvendosje pambarimisht të vogël $d𝐫$, dhe shihet të jetë maksimale kur $d𝐫$ është në drejtim të gradientit $\mathrm{\nabla }f$ . Simboli nabla $\mathrm{\nabla }$, i shkruar si një trekëndësh me kokë poshtë dhe i shqiptuar "del", tregon operatorin diferencial vektorial .

Kur përdoret një sistem koordinativ në të cilin vektorët bazë nuk janë funksione të pozicionit, gradienti jepet nga vektori Stampa:Efn përbërësit e të cilit janë derivatet e pjesshme të $f$ në $p$. Kjo është, për $f:{ℝ}^n\to ℝ$, gradienti i saj $\mathrm{\nabla }f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ është përcaktuar në pikë $p=(x_1,\dots ,x_n)$ në hapësirën n -dimensionale si vektor Stampa:Efn$$\mathrm{\nabla }f(p)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\end{array}\right].$$Gradienti është i dyfishtë ndaj derivatit total $df$ : vlera e gradientit në një pikë është një vektor tangjent – një vektor në secilën pikë; ndërsa vlera e derivatit në një pikë është një vektor <i id="mwQA">kotangjent</i>. Stampa:Efn Ato janë të lidhura në atë që prodhimi i brendshëm i gradientit të $f$ në një pikë $p$ me një vektor tjetër tangjent $𝐯$ barazohet me derivatin e drejtimit të $f$ në $p$ të funksionit përgjatë $𝐯$ ; kjo shprehet si, $\mathrm{\nabla }f(p)\cdot 𝐯=\frac{\partial f}{\partial 𝐯}(p)=d{f}_p(𝐯)$ .

Motivimi

Gradienti i funksionit 2D $f(x,y)=x{e}^{-(x^2+y^2)}$ vizatohet si shigjeta mbi grafikun pseudongjyrësh të funksionit.

Konsideroni një dhomë ku temperatura është dhënë nga një fushë skalare, $T$, kështu që në çdo pikë Stampa:Math temperatura është Stampa:Math e pavarur nga koha. Në çdo pikë të dhomës, gradienti i Stampa:Math në atë pikë do të tregojë drejtimin në të cilin temperatura rritet më shpejt, duke u larguar nga Stampa:Math. Madhësia e gradientit do të përcaktojë se sa shpejt rritet temperatura në atë drejtim.

Konsideroni një sipërfaqe lartësia e së cilës mbi nivelin e detit në pikën Stampa:Math është Stampa:Math . Gradienti i Stampa:Math në një pikë është një vektor i rrafshët (2D) që tregon në drejtim të pjerrësisë ose shkallës më të pjerrët në atë pikë. Pjerrësia e pjerrësisë në atë pikë jepet nga madhësia e vektorit të gradientit.

Gradienti mund të përdoret gjithashtu për të matur se si një fushë skalare ndryshon në drejtime të tjera, në vend të drejtimit të ndryshimit më të madh, duke marrë një produkt të brëndshëm . Supozoni se pjerrësia më e pjerrët në një kodër është 40%. Një rrugë që shkon drejtpërdrejt përpjetë ka pjerrësi 40%, por një rrugë që shkon rreth kodrës në një kënd do të ketë një pjerrësi më të cekët. Për shembull, nëse rruga është në një kënd 60° nga drejtimi përpjetë (kur të dy drejtimet janë të projektuara në rrafshin horizontal), atëherë pjerrësia përgjatë rrugës do të jetë prodhimi i brendshëm mes vektorit të gradientit dhe një vektori njësi përgjatë rrugës., domethënë 40% herë kosinusin e 60°, ose 20%.

Shënimi

Gradienti i një funksioni $f$ në pikë $a$ zakonisht shkruhet si $\mathrm{\nabla }f(a)$ . Mund të shënohet gjithashtu me ndonjë nga shënimet e mëposhtme:

• $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f(a)$ : për të theksuar natyrën vektoriale të rezultatit.
• Stampa:Math
• ${\partial }_{i}f$ dhe $f_i$ : Shënimi i Ajnshtajnit .

Përkufizimi

Gradienti i funksionit Stampa:Math i paraqitur si një fushë vektoriale e projektuar në rrafshin e poshtëm.

Gradienti (ose fusha vektoriale e gradientit) e një funksioni skalar Stampa:Math shënohet $\mathrm{\nabla }f$ ose $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ ku $\mathrm{\nabla }$ ( nabla ) tregon operatorin diferencial të vektorit, del . Shënimi Stampa:Math përdoret gjithashtu zakonisht për të përfaqësuar gradientin. Gradienti i f përkufizohet si fusha vektoriale unike prodhimi i brëndshëm i së cilës me çdo vektor $v$ në secilën pikë $x$ është derivati i drejtimit i $f$ përgjatë $v$ . Kjo është,$$(\mathrm{\nabla }f(x))\cdot 𝐯=D_{𝐯}f(x)$$ku ana e djathtë është derivati i drejtimit dhe ka shumë mënyra për ta paraqitur atë. Formalisht, derivati është i dyfishti ndaj gradientit; shih lidhjen me derivatin .

Koordinatat karteziane

Në sistemin tredimensional të koordinatave karteziane me një metrikë Euklidiane, gradienti, nëse ekziston, jepet nga$$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤,$$ku Stampa:Math, Stampa:Math, Stampa:Math janë vektorët standardë njësi në drejtimet e koordinatave $x$, $y$ dhe $z$, përkatësisht. Për shembull, gradienti i funksionit$$f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin (z)$$është$$\mathrm{\nabla }f=2𝐢+6y𝐣-\cos (z)𝐤.$$

Koordinatat cilindrike dhe sferike

Në koordinatat cilindrike me një metrikë Euklidiane, gradienti jepet nga: $$\mathrm{\nabla }f(\rho ,\phi ,z)=\frac{\partial f}{\partial \rho }{𝐞}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }{𝐞}_{\phi }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z,$$ku Stampa:Math është distanca boshtore, Stampa:Math është këndi azimutal ose azimutal, Stampa:Math është koordinata boshtore dhe Stampa:Math, Stampa:Math dhe Stampa:Math janë vektorë njësi që tregojnë përgjatë drejtimeve të koordinatave.

Në koordinatat sferike, gradienti jepet nga: $$\mathrm{\nabla }f(r,\theta ,\phi )=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }{𝐞}_{\phi },$$ku Stampa:Math është distanca radiale, Stampa:Math është këndi azimutal dhe Stampa:Math është këndi polar, dhe Stampa:Math, Stampa:Math dhe Stampa:Math janë përsëri vektorë njësi që tregojnë në drejtimet e koordinatave (d.m.th., baza e normalizuar e bashkëvariantit ).

Lidhja me derivatin total

Gradienti është i lidhur ngushtë me derivatin total ( diferenciali total ) $df$ : ato janë të transpozuara ( të dyfishta ) me njëra-tjetrën. Duke përdorur konventën që vektorët në ${ℝ}^n$ përfaqësohen nga vektorët e kolonës, dhe ata kovektorë (harta lineare ${ℝ}^n\to ℝ$ ) përfaqësohen nga vektorët e rreshtave, gradienti $\mathrm{\nabla }f$ dhe derivati $df$ shprehen si vektorë kolone dhe rreshti, përkatësisht, me të njëjtat përbërëse, por transpozojnë njëra-tjetrën:$$\mathrm{\nabla }f(p)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\end{array}\right];$$$$d{f}_p=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p)& \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\end{array}\right].$$Ndërsa këta të dy kanë të njëjtët përbërës, ato ndryshojnë në atë lloj objekti matematikor që përfaqësojnë: në secilën pikë, derivati është një vektor kotangjent, një formë lineare ( kovektor ) që shpreh se sa ndryshon prodhimi (skalar) për një ndryshim pambarimisht të vogël. ndryshimi në hyrje (vektoriale), ndërsa në secilën pikë, gradienti është një vektor tangjent, i cili përfaqëson një ndryshim pambarimisht të vogël në hyrjen (vektoriale). Në simbole, gradienti është një element i hapësirës tangjente në një pikë, $\mathrm{\nabla }f(p)\in T_p{ℝ}^n$, ndërsa derivati është një hartë nga hapësira tangjente në numrat realë, $d{f}_p:T_p{ℝ}^n\to ℝ$ . Hapësirat tangjente në çdo pikë të ${ℝ}^n$ mund të identifikohet "natyrshëm" Stampa:Efn me hapësirën vektoriale ${ℝ}^n$ vetë, dhe në mënyrë të ngjashme hapësira kotangjente në çdo pikë mund të identifikohet natyrshëm me hapësirën vektoriale të dyfishtë $({ℝ}^n{)}^{*}$ të kovektorëve; kështu që vlera e gradientit në një pikë mund të mendohet si një vektor i origjinales ${ℝ}^n$, jo vetëm si një vektor tangjent.

Përafrimi linear me një funksion

Përafrimi më i mirë linear për një funksion mund të shprehet në terma të gradientit, në vend të derivatit. Gradienti i një funksioni $f$ nga hapësira Euklidiane ${ℝ}^n$ te $ℝ$ në çdo pikë të caktuar $x_0$ në ${ℝ}^n$ karakterizon përafrimin më të mirë linear të $f$ në $x_0$ . Përafrimi është si më poshtë:$$f(x)\approx f(x_0)+(\mathrm{\nabla }f{)}_{x_0}\cdot (x-x_0)$$