Grafiku i një funksioni

Grafiku i funksionit $f(x)=\frac{x^3+3x^2-6x-8}{4}.$

Në matematikë, grafiku i një funksioni $f$ është bashkësia e çifteve të renditura $(x,y)$, ku $f(x)=y.$ Në rastin e zakonshëm ku $x$ dhe $f(x)$ janë numra realë, këto çifte janë koordinata karteziane të pikave në një rrafsh dhe shpesh formojnë një kurbë . Paraqitja grafike e grafikut të një funksioni njihet edhe si grafik .

Në rastin e funksioneve të dy ndryshoreve - domethënë funksione, bashkësia e përcaktimit të së cilave përbëhet nga çifte $(x,y)$ –, grafiku zakonisht i referohet grupit të treshave të renditura $(x,y,z)$ ku $f(x,y)=z$ . Ky është një nëngrup i hapësirës tre-dimensionale ; për një funksion të vazhdueshëm me vlera reale të dy ndryshoreve reale, grafiku i tij formon një sipërfaqe, e cila mund të vizualizohet si një grafik sipërfaqësor .

Në shkencë, inxhinieri, teknologji, financa dhe fusha të tjera, grafikët janë mjete që përdoren për shumë qëllime. Në rastin më të thjeshtë, një ndryshore vizatohet si funksion i një tjetre, zakonisht duke përdorur boshte drejtkëndore.

Një grafik i një funksioni është një rast i veçantë i një relacioni . Në bazat moderne të matematikës, dhe, zakonisht, në teorinë e bashkësive, një funksion është në të vërtetë i barabartë me grafikun e tij. Megjithatë, shpesh është e dobishme të shihen funksionet si hartëzime, të cilat përbëhen jo vetëm nga lidhja midis hyrjes dhe daljes, por gjithashtu se cila bashkësi është bashkësia e përcaktimit dhe cila bashkësi është bashkësia e shëmbëllimeve . Për shembull, të themi se një funksion është onto ( syrjektiv ) ose jo, duhet të merret parasysh bashkësia e shëmbëllimeve. Grafiku i një funksioni në vetvete nuk e përcakton B e shëmbëllimeve. Është e zakonshme të përdoren të dy termat funksion dhe grafik i një funksioni pasi edhe nëse konsiderohen i njëjti objekt, ato tregojnë shikimin e tij nga një këndvështrim tjetër.

Grafiku i funksionit $f(x)=x^4-4^x$ mbi intervalin [−2,+3]. Tregohen gjithashtu dy rrënjët reale dhe minimumi vendor që janë në interval.

Përkufizimi

Jepet një funksion $f:X\to Y$ nga një bashkësia X ( domeni ) në një bashkësi Y ( kodomeni ), grafiku i funksionit është bashkësia $$G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},$$ që është një nëngrup i prodhimit kartezian $X\times Y$ . Në përkufizimin e një funksioni në termat e teorisë së bashkësive, është e zakonshme të identifikohet një funksion me grafikun e tij, megjithëse, zyrtarisht, një funksion formohet nga trefishi i përbërë nga domeni i tij, kodomani dhe grafiku i tij.

Shembuj

Funksionet e një ndryshoreje

Grafiku i funksionit $f(x,y)=\sin \left(x^2\right)\cdot \cos \left(y^2\right).$

Grafiku i funksionit $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ përcaktuar nga $$f(x)=\{\begin{array}{cc}a,& \text{if }x=1,\\ d,& \text{if }x=2,\\ c,& \text{if }x=3,\end{array}$$ është nënbashkësi e bashkësisë $\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}$$$G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.$$

Grafiku i polinomit kub në drejtëzën reale $$f(x)=x^3-9x$$ është $$\{(x,x^3-9x):x\text{ është një numër real}\}.$$

Nëse ky grup paraqitet në një rrafsh kartezian, rezultati është një kurbë (shih figurën).

Funksionet e dy ndryshoreve

Vizatimi i grafikut të $f(x,y)=-{(\cos \left(x^2\right)+\cos \left(y^2\right))}^2,$ duke treguar gjithashtu gradientin e tij të projektuar në rrafshin e poshtëm.

Grafiku i funksionit trigonometrik $$f(x,y)=\sin (x^2)\cos (y^2)$$ është $$\{(x,y,\sin (x^2)\cos (y^2)):x\text{ and }y\text{ janë numra realë}\}.$$

Nëse ky grup paraqitet në një sistem koordinativ tredimensional kartezian, rezultati është një sipërfaqe (shih figurën).