Heliksi

Spiralja e djathtë (cos t, sin t, t ) për 0 ≤ t ≤ 4 π me majat e shigjetave që tregojnë drejtimin e rritjes së ndryshores t

Një heliks është një formë si një heqëse tapash ose shkallë spirale . Është një lloj lakore e hapësirës së lëmuar me vija tangjente në një kënd konstant ndaj një boshti fiks. Spiralet janë të rëndësishme në biologji, pasi molekula e ADN-së formohet si dy spirale të ndërthurura, dhe shumë proteina kanë nënstruktura spirale, të njohura si spirale alfa . Fjala heliks vjen nga fjala greke Stampa:Lang , "i përdredhur, i lakuar". Një spirale "e mbushur" - për shembull, një rampë "spiral" (spiral) - është një sipërfaqe e quajtur helikoid .

Përshkrimi matematikor

Një spirale e përbërë nga përbërës sinusoidalë x dhe y

Në matematikë, një spirale është një kurbë në hapësirën 3- dimensionale . Parametrimi i mëposhtëm në koordinatat karteziane përcakton një spirale të veçantë; ekuacionet më të thjeshta parametrike për një spirale janë:

$\begin{array}{cc}x(t)& =\cos (t),\\ y(t)& =\sin (t),\\ z(t)& =t.\end{array}$

Ndërsa parametri $t$ rritet, pika ($x(t),y(t),z(t)$) gjurmon një spirale të djathtë me hap 2π (ose pjerrësi 1) dhe rreze 1 rreth boshtit $z$, në një sistem koordinativ të dorës së djathtë.

Në koordinatat cilindrike ($r,\theta ,h$ ), e njëjta spirale është e parametrizuar nga:

$\begin{array}{cc}r(t)& =1,\\ \theta (t)& =t,\\ h(t)& =t.\end{array}$

Një mënyrë tjetër për të ndërtuar matematikisht një spirale është të vizatojmë funksionin me vlera komplekse $e^{xi}$ si funksion të numrit real $x$ (shih formulën e Euler-it ). Vlera e $x$-it dhe pjesët reale dhe imagjinare të vlerës së funksionit i japin këtij grafiku tre dimensione reale.

Gjatësia e harkut, lakimi dhe torsioni

Një spirale rrethore me rreze a dhe pjerrësi a/b shprehet në koordinata karteziane si:

$t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]$

ka një gjatësi harku prej

$A=T\cdot \sqrt{a^2+b^2},$

një lakim të dhënë nga

$\frac{|a|}{a^2+b^2},$

dhe një torsion:

$\frac{b}{a^2+b^2}.$

Një heliks është funksioni me vlera vektoriale$$\begin{array}{cc}𝐫& =a\cos t𝐢+a\sin t𝐣+bt𝐤\\ [6px]𝐯& =-a\sin t𝐢+a\cos t𝐣+b𝐤\\ [6px]𝐚& =-a\cos t𝐢-a\sin t𝐣+0𝐤\\ [6px]|𝐯|& =\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2+b^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\ [6px]|𝐚|& =\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2}=a\\ [6px]s(t)& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{a^2+b^2}d\tau =\sqrt{a^2+b^2}t\end{array}$$Pra, një spirale mund të riparametrizohet në funksion të $s$, e cila duhet të jetë shpejtësia njësi:$$𝐫(s)=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+\frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐤$$Vektori tangjent njësi është$$\frac{d𝐫}{ds}=𝐓=\frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐤$$Vektori normal është$$\frac{d𝐓}{ds}=\kappa 𝐍=\frac{-a}{a^2+b^2}\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+\frac{-a}{a^2+b^2}\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤$$Kurbatura (lakimi) e saj është$$\kappa =\left|\frac{d𝐓}{ds}\right|=\frac{|a|}{a^2+b^2}$$Vektori normal i njësisë është$$𝐍=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢-\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤$$Vektori binormal është$$\begin{array}{cc}𝐁=𝐓\times 𝐍& =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢-b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+a𝐤)\\ [12px]\frac{d𝐁}{ds}& =\frac{1}{a^2+b^2}(b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐢+b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}𝐣+0𝐤)\end{array}$$Torsioni i tij është$$\tau =\left|\frac{d𝐁}{ds}\right|=\frac{b}{a^2+b^2}.$$