Identiteti (matematikë)

Dëshmi pamore e identitetit të Pitagorës : për çdo kënd $\theta$, pika $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ shtrihet në rrethin njësi, i cili kënaq ekuacionin $x^2+y^2=1$ . Kështu, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ .

Në matematikë, një identitet është një barazi që lidh një shprehje matematikore A me një shprehje tjetër matematikore B, të tilla që A dhe B (të cilat mund të përmbajnë disa ndryshore ) prodhojnë të njëjtën vlerë për të gjitha vlerat e ndryshoreve brenda një diapazoni të caktuar vlefshmërie. Me fjalë të tjera, A = B është një identitet nëse A dhe B përcaktojnë të njëjtat funksione, dhe një identitet është një barazi midis funksioneve që përcaktohen ndryshe. Për shembull, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ dhe ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ janë identitete.

Identitetet nganjëherë tregohen me simbolin e shiritit të trefishtë ≡ në vend të =, shenjë e barazimit .

Identitete të përbashkëta

Identitetet algjebrike

Identitete të caktuara, si p.sh $a+0=a$ dhe $a+(-a)=0$, përbëjnë bazën e algjebrës, ndërsa identitetet e tjera, si p.sh $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ dhe $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, mund të jetë të dobishme në thjeshtimin e shprehjeve algjebrike dhe zgjerimin e tyre.

Identitete trigonometrike

Gjeometrikisht, identitetet trigonometrike janë identitete që përfshijnë funksione të caktuara të një ose më shumë këndeve . Ato dallohen nga identitetet e trekëndëshit, të cilat janë identitete që përfshijnë kënde dhe gjatësi anësore të një trekëndëshi.

One of the most prominent examples of trigonometric identities involves the equation ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$ which is true for all real values of $\theta$. On the other hand, the equation

$\cos \theta =1$

është e vërtetë vetëm për vlera të caktuara të $\theta$, jo të gjithë. Për shembull, ky ekuacion është i vërtetë kur $\theta =0,$ por false kur $\theta =2$ .

Identitete eksponenciale

Identitetet e mëposhtme vlejnë për të gjithë eksponentët e numrave të plotë, me kusht që baza të jetë jo zero:

$\begin{array}{cc}{b}^{m+n}& =b^m\cdot b^n\\ (b^m{)}^n& =b^{m\cdot n}\\ (b\cdot c{)}^n& =b^n\cdot c^n\end{array}$

Identitete logaritmike

Disa formula të rëndësishme, nganjëherë të quajtura identitete logaritmike ose ligje log, i lidhin logaritmet me njëri-tjetrin: Stampa:Efn

	Formula	Shembull
prodhimi	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
herësi	${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4$
fuqia	${\log }_b(x^p)=p{\log }_b(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$
rrënja	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_b(x)}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

Ndryshimi i bazës

Logaritmi ${\log }_b(x)$ mund të llogaritet nga logaritmet mbi x dhe b në lidhje me një bazë arbitrare k duke përdorur formulën e mëposhtme:

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_k(x)}{{\log }_k(b)}.$

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{{\log }_{10}(b)}=\frac{{\log }_e(x)}{{\log }_e(b)}.$