Identiteti i Hajnesit

Në analizën matematikore, identiteti i Hajnesit, i quajtur pas Heinrich Eduard Heine është një zgjerim Furier i një rrënjë katrore reciproke të cilën Hajnesi e paraqiti si$$\frac{1}{\sqrt{z-\cos \psi }}=\frac{\sqrt{2}}{\pi }\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{Q}_{m-\frac{1}{2}}(z)e^{im\psi }$$ku $Q_{m-\frac{1}{2}}$ është një funksion i Lezhandrit i llojit të dytë, i cili ka shkallë, $m-1/2$ , një gjysmë numër i plotë dhe argumenti, $z$, real dhe më i madh se një. Kjo shprehje mund të përgjithësohet për fuqi arbitrare gjysmë të plotë si më poshtë$$(z-\cos \psi {)}^{n-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{(z^2-1{)}^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(m-n+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(m+n+\frac{1}{2})}{Q}_{m-\frac{1}{2}}^n(z)e^{im\psi },$$ku $\mathrm{\Gamma }$ është funksioni Gama .