Integrali Frullani

Në matematikë, integralet Frullani janë një lloj specifik i integralit jo të vetë të quajtur sipas matematikanit italian Giuliano Frullani . Integralet janë të formës

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x$

ku $f$ është një funksion i përcaktuar për të gjithë numrat realë jonegativë që ka një kufi në $\mathrm{\infty }$, të cilin e shënojmë me $f(\mathrm{\infty })$ .

Formula e mëposhtme për zgjidhjen e tyre të përgjithshme vlen në kushte të caktuara: 

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \frac{a}{b}.$

Dëshmi

Një provë e thjeshtë e formulës mund të arrihet duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike për të shprehur të integrueshmin si një integral të trajtës$f^{\prime }(xt)=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{f(xt)}{x}\right)$ :

$\begin{array}{cc}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}& ={\left[\frac{f(xt)}{x}\right]}_{t=b}^{t=a}\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dt\\ \end{array}$

dhe më pas përdorni teoremën e Tonellit për të shkëmbyer dy integralet:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{b}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dtdx\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dxdt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}{\left[\frac{f(xt)}{t}\right]}_{x=0}^{x\to \mathrm{\infty }}dt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\frac{f(\mathrm{\infty })-f(0)}{t}dt\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))(\ln (a)-\ln (b))\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \left(\frac{a}{b}\right)\\ \end{array}$

Vini re se integrali në rreshtin e dytë të mësipërm është marrë mbi intervalin $[b,a]$, jo $[a,b]$ .

Zbatimet

Formula mund të përdoret për të nxjerrë një paraqitje integrale për logaritmin natyror $\ln (x)$ duke lënë $f(x)=e^{-x}$ dhe $a=1$ :

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}-e^{-bx}}{x}\mathrm{d}x=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{e^n}-e^0)\ln (\frac{1}{b})=\ln (b)$