Integrali i vëllimit

Në matematikë (veçanërisht analizë matematike me shumë ndryshore ), një integral vëllimor (∭) i referohet një integrali mbi një domein 3-dimensional ; domethënë, është një rast i veçantë i integraleve të shumëfishta . Integralet e vëllimit janë veçanërisht të rëndësishëm në fizikë për shumë zbatime, për shembull, për të llogaritur dendësinë e fluksit .

Në koordinata

Mund të nënkuptojë gjithashtu një integral të trefishtë brenda një copëze vëllimore (rajoni) $D\subset {ℝ}^3$ të një funksioni $f(x,y,z),$ dhe zakonisht shkruhet si:$$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$$Një integral vëllimi në koordinatat cilindrike është$$\underset{D}{\iiint }f(\rho ,\phi ,z)\rho d\rho d\phi dz,$$dhe një integral vëllimi në koordinatat sferike merr formën$$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,\phi )r^2\sin \theta drd\theta d\phi .$$

Shembull

Integrimi i ekuacionit $f(x,y,z)=1$ mbi një kub njësi jep rezultatin e mëposhtëm:$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dz=1-0=1$$Pra, vëllimi i kubit njësi është 1 siç edhe pritet. Megjithatë, kjo është një situatë e parëndësishme, dhe një integral i vëllimit është shumë më i fuqishëm. Për shembull, nëse kemi një funksion të dendësisë së këtij kubi, atëherë integrali i vëllimit do të japë masën totale të kubit. Për shembull për funksionin e densitetit:$$\{\begin{array}{c}f:{ℝ}^3\to ℝ\\ f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{array}$$masa totale e kubit është:$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+y+z)dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{2}+y+z)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+z)dz=\frac{3}{2}$$