Integrimi me pjesë

Në analizë, integimi me pjesë është një rregull që transformon integralin e prodhimit të funksioneve në integrale më të thjeshta. Ky rregull bazohet tek formula për derivatin e prodhimit të funksioneve.

Nëqoftëse u = f(x), v = g(x), dhe diferencialet du = f '(x) dx dhe dv = g'(x) dx, atëhere rregulli i integrimit me pjesë pohon se

$\int udv=uv-\int vdu,$

pra:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx.$

Rregulli

Supozoni se f(x) dhe g(x) janë dy funksione të diferencueshme dhe të vazhdueshme. Rregulli i prodhimit pohon se

$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g(x)$

Duke integruar të dyja anët marrim:

$f(x)g(x)=\int f(x)g^{\prime }(x)dx+\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

Duke rriregulluar termat kemi:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

Nga barazimi i mëlartëm marrim rregullin e integrimit me pjesë, i cili pohon se, në një interval të dhënë me pika fundore a dhe b,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx={[f(x)g(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

ku përdorim simbolikën e zakonshme

${[f(x)g(x)]}_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Rregulli del të jetë i vërtetë duke përdorur rregullin e prodhimit për derivatet dhe teoremën themelore të analizës matematike. pra

$\begin{array}{cc}f(b)g(b)-f(a)g(a)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx.\end{array}$

Në tekstet shkollore, rregulli jepet duke përdorur integralin e pacaktuar në formën

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

ose , nqs u = f(x), v = g(x) dhe diferencialet du = f ′(x) dx dhe dv = g′(x) dx, atëhere merr formën :

$\int udv=uv-\int vdu.$