Katrori i Binomit

Në algjebër elementare, teorema binom (ose zgjerimi binomial) përshkruan zgjerimin algjebrik të fuqive të një binomi. Sipas teoremës, është e mundur të zgjerohet polinomi (x + y) në një shumë që përfshin termat e formës a xb yc, ku eksponentët b dhe c janë integers jo-negativë me b + c = n dhe koeficienti a i çdo termi është një numër i plotë pozitiv në varësi të n dhe b. Për shembull:

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4.$

Koeficienti a në termin e një xb yc njihet si koeficienti binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})$ ose $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{c})$ (të dy kanë të njëjtën vlerë). Këta koeficientë për ndryshimin e Stampa:Math dhe Stampa:Math mund të rregullohen për të formuar trekëndëshin Pascal. Këto numra gjithashtu lindin në kombinatorikë, ku $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{b})$ jep numrin e kombinimeve të ndryshme të elementëve b që mund të zgjidhen nga një element Stampa:Math i vendosur.

Shembuj

Shembulli më themelor i teoremës binomiale është formula për katrorin e x + y:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2.$

Koeficientët binom 1, 2, 1 që paraqiten në këtë zgjerim korrespondojnë me rreshtin e dytë të trekëndëshit Pascal. (Vini re se lartësia "1" e trekëndëshit konsiderohet të jetë rreshti 0, sipas konventës.) Koeficientët e fuqive më të larta të x + y korrespondojnë me rreshtat më të ulëta të trekëndëshit:

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^3& =x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3,\\ (x+y{)}^4& =x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4,\\ (x+y{)}^5& =x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5,\\ (x+y{)}^6& =x^6+6x^{5}y+15x^4{y}^2+20x^3{y}^3+15x^2{y}^4+6x{y}^5+y^6,\\ (x+y{)}^7& =x^7+7x^{6}y+21x^5{y}^2+35x^4{y}^3+35x^3{y}^4+21x^2{y}^5+7x{y}^6+y^7.\end{array}$

Disa shpjegime në përgjithësi, për zgjerimin Stampa:Math:

1. fuqitë e Stampa:Math fillojnë në Stampa:Mvar dhe ulen me 1 në çdo afat deri sa të arrijnë 0 (me Stampa:Math, shpesh të pashkruar);
2. fuqitë e Stampa:Math fillojnë në 0 dhe rritet për 1 derisa të arrijnë formën Stampa:Math;
3. rreshti i Stampa:Mvar-të i trekëndëshit të Pascalit do të jenë koeficientët e binomit të zgjeruar kur kushtet janë rregulluar në këtë mënyrë;
4. numri i termave në zgjerimin para se termat të kombinohen, është shuma e koeficientëve dhe është e barabartë me Stampa:Math; dhe
5. do të ketë terma Stampa:Math në shprehjen pas kombinimit të termave në zgjerim