Kombinacioni

Kombinacioni në matematikë, me $n$ elemente, i klasës $p (p$ ≤ $n)$ , është çdo nënbashkësi me $p$ elemente, të marrë nga bashkësia me $n$ elemente pa përsëritje. Dy kombinacione të klasës $p$ janë të ndryshme në qoftë se njëri përmban së paku një element që nuk e përmban tjetri, (pa e shikuar radhën). P.sh.: kombinacione të klasës së tretë të bashkësisë $M = {1, 2, 3, 4, 5},$ janë:

${1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5},$ ose shkurt:

$123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 .$ ^[1]

Problemi kryesor në lidhje me kombinacionet është gjetja e numrit të tyre. Numrin e kombinacioneve të klasës k prej n elementesh e shënohen me $(\binom{n}{k})$ .

Ky numër mund të njehsohet sipas formulës së mëposhtme: $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1}$

p.sh.: $(\binom{5}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$ $(\binom{6}{2}) = 15$

Trekëndëshi i Paskalit

Skeda:Pastedpic 01152009 232346.png

Trekëndëshi i Paskalit i jep vlerat e numrit të kombinacioneve, i cili në të shumtën e rasteve jepet në trajtën e një trekëndëshi barabrinjës. Këtu jepet në trajtën e një trekëndëshi kënddrejt numrash sipas rrjeshtave n dhe sipas kolonave k. Në prerjen e rrjeshtit n me kolonën k vendoset numri $(\binom{n}{k})$ . Duke u bazuar në formulën e tanishme

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})

e cila tregon se çdo element i tabelës i cili nuk i takon rreshtit të parë ose kolonës së parë është i barabartë me shumën e elementit mbi të dhe e fqiut të tij të majtë.

Numri i kombinacioneve me përsëritje

Ky numër mund të llogaritet si vijon :

\frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = (\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

p.sh.: nëse janë 10 objekte zgjidhen 3 atëherë (10 + 3 − 1)!/(3!(10 − 1)! = 220 mënyra zgjedhjeje.

Kjo mund të shpjegohet kështu: Supozohet se janë n + k kuti të njëjta të renditura në vijë. Prej këtyre kutive (përveç të parës), rastësisht zgjidhen k prej tyre dhe kutinë e zgjedhur e kuptojmë si të zbrazët. Kutitë e mbetura mund të plotësohen me n elemente nga bashkësia S. Për çdo kuti jo të zbrazët e cila pasohet nga M kuti të zbrazëta, zgjidhet elementi përkatës nga kutia jo e zbrazët M herë. Si përfundim, çdo renditje apo zgjedhje e kutisë së zbrazët i përket një zgjedhjeje e k elementeve prej n elementeve prej të cilave disa ose të gjitha mund të përsëriten. Pra, numri i kombinacioneve me përsëritje është:

(\binom{n + k - 1}{k}) .

Parimi i Diriblesë

Dirible (Filozof francez). Parimi mbi katrorët e pëllumbave.

$k$ - katrorë

$k + 1$ - pëllumba

$◻_{1} ◻_{2} . . . ◻_{k}$

P.sh.: Për të siguruar që në një klasë dy prej tyre e kanë ditëlindjen në të njëjtën ditë do të n`a nevojiteshim 367 individë.

Parimi i përgjithësuar i Diriblesë

Nëse $N$ objekte vendosen në $k$ kuti atëherë ekziston të paktën një kuti me $⌈ \frac{N}{k} ⌉$ (pjesa e plotë e sipërme) objekte.

Vërtetim i parimit

Përndryshe çdo kuti do të kishte jo më shumë se $⌈ \frac{N}{k} ⌉ - 1$ objekte. Atëherë numri i përgjithshëm i objekteve është:

$k \cdot (⌈ \frac{N}{k} ⌉ - 1) < k \cdot (\frac{N}{k} + 1 - 1) = N$ - Kontradiksion.

Kombinacionet pa përsëritje, renditja nuk ka rëndësi

$C_{p}^{n} = (\binom{n}{p}) = \frac{n!}{p! (n - p)!}$

Në sa mënyra mund t`i zgjedhim dy shkronja nga 4 shkronja $a, b, c, d ?$

{ $a b, a c, a d$ $, b c, b d,$ $c d$ }

Pra, $C_{4}^{2}$ kështu në 6 mënyra.

Vetitë e kombinacioneve

$1 .$ $(\binom{n}{r}) = (\binom{n}{n - r}), r \leq n r, n ≷ \geq 0$

$2 .$ Trekëndëshi i Paskalit

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})$

$3 .$ $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$

$4 .$ Identiteti i Vandermondit

$(\binom{m + n}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{r - k}) (\binom{n}{k})$

$5 .$ Teorema e binomit

$x, y$ variabla, $n \in N$

$(x + y)^{n} = \sum_{j = 0} (\binom{n}{j}) x^{n - j} y^{j}$

$(x + y) (x + y) . . . (x + y)$

$6 .$ $n \in N$

$\sum_{k = 0} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) = 0$

$7 .$ $(\binom{n}{k}) = \sum_{i = k}^{n} (\binom{i - 1}{k - 1})$

Për $k$ numra $= (\binom{k - 1}{k - 1}) + (\binom{k}{k - 1}) (\binom{k - 1}{k - 1}) + . . . + (\binom{n - 1}{k - 1})$ .

Referime

↑ Stampa:Cite book

[1] Stampa:Cite book

[1]

Kombinacioni

Përmbajtjet

Trekëndëshi i Paskalit

Numri i kombinacioneve me përsëritje

Parimi i Diriblesë

Parimi i përgjithësuar i Diriblesë

Vërtetim i parimit

Kombinacionet pa përsëritje, renditja nuk ka rëndësi

Vetitë e kombinacioneve

Referime

Menuja e navigimit

Kombinacioni

Trekëndëshi i Paskalit

Numri i kombinacioneve me përsëritje

Parimi i Diriblesë

Parimi i përgjithësuar i Diriblesë

Vërtetim i parimit

Kombinacionet pa përsëritje, renditja nuk ka rëndësi

Vetitë e kombinacioneve

Referime

Menuja e navigimit

Kërko