Konstantja Çiger (teoria e grafeve)

Në matematikë, konstanta e Çigerit e një grafi është një masë numerike nëse një grafik ka ose jo një "lëfytje". Konstanta e Çigerit si një masë e "bllokut të ngushtë" është me interes të madh në shumë fusha: për shembull, ndërtimi i rrjeteve të lidhura mirë të kompjuterëve, shkartisja e kartave . Nocioni teorik i grafit e ka origjinën tek konstantja izoperimetrike Çiger e një durthi kompakt Rimanian .

Përkufizimi

Le të jetë Stampa:Mvar një graf i fundëm i padrejtuar me bashlësi kulmesh Stampa:Math dhe bashkësi brinjësh Stampa:Math . Për një koleksion kulmesh Stampa:Math , le të ∂A të tregojë koleksionin i të gjitha brinjëve që shkojnë nga një kulm në A në një kulm jashtë A (ndonjëherë quhet kufiri i skajit të A ):

$\partial A:=\{\{x,y\}\in E(G):x\in A,y\in V(G)\setminus A\}.$

Vini re se brinjët janë të pa renditura, dmth. $\{x,y\}=\{y,x\}$ . Konstantja Çiger e G, e shënuar Stampa:Math, përcaktohet nga Stampa:Sfn

$h(G):=\min \{\frac{|\partial A|}{|A|}:A\subseteq V(G),0<|A|\le \frac{1}{2}|V(G)|\}.$

Shembull: rrjetet kompjuterike

Paraqitja e rrjetit të tipit unazë

Në zbatimet e shkencën kompjuterike teorike, dëshirohet të krijohen konfigurime rrjeti për të cilat konstantja e Çigerit është e lartë (të paktën, e kufizuar nga zero) edhe kur Stampa:Math (numri i kompjuterëve në rrjet) është i madh.

Për shembull, merrni parasysh një rrjet unazor prej Stampa:Math kompjuterësh, i menduar si një graf Stampa:Mvar. Numëroni kompjuterët 1, 2, ... , N në drejtim të akrepave të orës rreth unazës. Matematikisht, bashkësia e kulmeve dhe bashkësi e brinjëve jepen nga:

$\begin{array}{cc}V(G_N)& =\{1,2,\cdots ,N-1,N\}\\ E(G_N)& =\{\{1,2\},\{2,3\},\cdots ,\{N-1,N\},\{N,1\}\}\end{array}$

Merrni A si një koleksion i $\lfloor \frac{N}{2}\rfloor$ nga këta kompjuterë në një zinxhir të lidhur:

$A=\{1,2,\cdots ,\lfloor \frac{N}{2}\rfloor \}.$

Pra,

$\partial A=\{\{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor ,\lfloor \frac{N}{2}\rfloor +1\},\{N,1\}\},$

dhe

$\frac{|\partial A|}{|A|}=\frac{2}{\lfloor \frac{N}{2}\rfloor }\to 0\text{ teksa }N\to \mathrm{\infty }.$

Ky shembull ofron një kufi të sipërm për konstanten e Çigerit Stampa:Math, e cila gjithashtu tenton drejt zeros kur N → ∞ . Rrjedhimisht, ne do ta konsideronim një rrjet unazash si shumë "të ngushtë" për N të mëdha, dhe kjo është shumë e padëshirueshme në aspektin praktik. Do të na duhej vetëm një nga kompjuterët në rrjet që të dështonte dhe performanca e rrjetit do të reduktohej shumë. Nëse dy kompjuterë jo ngjitur do të dështonin, rrjeti do të ndahej në dy komponentë të shkëputur.