Këndi i paralelizmit

Këndi i paralelizmit në gjeometrinë hiperbolike

Në gjeometrinë hiperbolike, këndi i paralelizmit $\mathrm{\Pi }(a)$ është këndi në kulmin e këndit jo të drejtë të një trekëndëshi hiperbolik të drejtë që ka dy brinjë paralele asimptotike . Këndi varet nga gjatësia e segmentit a ndërmjet këndit të drejtë dhe kulmit të këndit të paralelizmit.

Duke pasur parasysh një pikë jashtë një drejtëze, hiqet një pingule me drejtëzën nga pika. Le të jetë a gjatësia e këtij segmenti pingul, dhe $\mathrm{\Pi }(a)$ të jetë këndi më i vogël i tillë që drejtëza e hequr nëpër pikë të mos e presë drejtëzën e dhënë. Meqenëse dy anët janë asimptotikisht paralele,

$\underset{a\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi \text{ and }\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=0.$

Ka pesë shprehje të njëvlerëshme që lidhinn $\mathrm{\Pi }(a)$ dhe a :

$\sin \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{sech}a=\frac{1}{\cosh a}=\frac{2}{e^a+e^{-a}}$

$\cos \mathrm{\Pi }(a)=\tanh a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}$

$\tan \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{csch}a=\frac{1}{\sinh a}=\frac{2}{e^a-e^{-a}},$

$\tan (\frac{1}{2}\mathrm{\Pi }(a))=e^{-a},$

$\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\pi -\mathrm{gd}(a),$

ku sinh, cosh, tanh, sech dhe csch janë funksione hiperbolike dhe gd është funksioni Gudermannian .

Historia

Këndi i paralelizmit u zhvillua në 1840 në botimin gjerman "Geometrische Untersuchungen zur Theory der Parallellinien" nga Nikollaj Llobaçevski .

Ky botim u bë i njohur gjerësisht në anglisht pasi profesori teksan G. B. Halsted bëri një përkthim në 1891. ( Kërkime gjeometrike mbi teorinë e paraleleve )