Funksionet hiperbolike

Në matematikë, funksionet hiperbolike janë analoget e funksioneve të zakonshme trigonometrike, por të përcaktuara duke përdorur hiperbolën dhe jo rrethin . Ashtu si pikat Stampa:Math formojnë një rreth njësi, pikat Stampa:Math formojnë gjysmën e djathtë të hiperbolës njësi . Gjithashtu, në mënyrë të ngjashme me mënyrën se si derivatet e Stampa:Math dhe Stampa:Math janë përkatësisht Stampa:Math dhe Stampa:Math, derivatet e Stampa:Math dhe Stampa:Math janë Stampa:Math dhe Stampa:Math respektivisht.

Funksionet hiperbolike hasen në llogaritjet e këndeve dhe largësive në gjeometrinë hiperbolike . Ato hasen gjithashtu në zgjidhjet e shumë ekuacioneve diferenciale lineare (siç është ekuacioni që përcakton një katenare ), ekuacionet kubike dhe ekuacioni i Laplasit në koordinata karteziane . Ekuacionet e Laplasit janë të rëndësishme në shumë fusha të fizikës, duke përfshirë teorinë elektromagnetike, transferimin e nxehtësisë, dinamikën e lëngjeve dhe relativitetin special .

Funksionet themelore hiperbolike janë:

• sinusi hiperbolik " sinh " ,
• kosinusi hiperbolik " cosh ",

nga të cilat rrjedhin:

• tangjenti hiperbolik " tanh ",
• kotangjenti hiperbolik " coth ",

që u përkojnë funksioneve trigonometrike të prejardhura.

Funksionet hiperbolike të anasjellta janë:

• sinusi hiperbolik i zonës " arsinh " (i shënuar gjithashtu " sinh−1 ", " asinh " ose ndonjëherë " arcsinh ")
• kosinusi hiperbolik i zonës " arcosh " (i shënuar gjithashtu " cosh−1 ", " acosh " ose ndonjëherë " arccosh ")
• e kështu me radhë.

Një rreze përmes hiperbolës njësi $x^2-y^2=1$ në pikën $(\cosh a,\sinh a)$, ku $a$ është dyfishi i sipërfaqes ndërmjet rrezes, hiperbolës dhe boshtit x . Për pikat në hiperbolën nën boshtin x, zona konsiderohet negative (shih versionin e animuar me krahasimin me funksionet trigonometrike (rrethore)).

Funksionet hiperbolike marrin një argument real të quajtur kënd hiperbolik . Madhësia e një këndi hiperbolik është dyfishi i sipërfaqes së sektorit të tij hiperbolik . Funksionet hiperbolike mund të përcaktohen në termat e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë që mbulon këtë sektor.

Në analizën komplekse, funksionet hiperbolike lindin kur zbatohen funksionet e zakonshme të sinusit dhe kosinusit në një kënd imagjinar. Sinusi hiperbolik dhe kosinusi hiperbolik janë funksione të tëra . Si rezultat, funksionet e tjera hiperbolike janë meromorfike në të gjithë planin kompleks.

Funksionet hiperbolike u prezantuan në vitet 1760 në mënyrë të pavarur nga Vincenzo Riccati dhe Johann Heinrich Lambert . Riccati përdori Sc. dhe Cc. ( Stampa:Lang) për t'iu referuar funksioneve rrethore dhe Sh. dhe Ch. ( Stampa:Lang ) për t'iu referuar funksioneve hiperbolike. Lambert miratoi emrat, por ndryshoi shkurtesat në ato që përdoren sot. Aktualisht përdoren edhe shkurtesat Stampa:Math, Stampa:Math, Stampa:Math, Stampa:Math, në varësi të preferencës personale.

Përkufizimet

sinh, cosh dhe tanh

csch, sech dhe coth

Ka mënyra të ndryshme ekuivalente për të përcaktuar funksionet hiperbolike.

Përkufizimet eksponenciale

$\sinh x$ është gjysma e ndryshesës së $e^x$ dhe $e^{-x}$

$\cosh x$ është mesatarja e $e^x$ dhe $e^{-x}$

Për sa i përket funksionit eksponencial :

• Sinusi hiperbolik: pjesa teke e funksionit eksponencial, d.m.th. $$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}.$$
• Kosinusi hiperbolik: pjesa çifte e funksionit eksponencial, d.m.th. $$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}.$$
• Tangjenti hiperbolik: $$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$$
• Kotangjenti hiperbolik: për x ≠ 0 , $$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}.$$
• Sekanti hiperbolik: $$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}.$$
• Kosekanti hiperbolik: për x ≠ 0 , $$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}.$$

Përkufizimet e ekuacioneve diferenciale

Funksionet hiperbolike mund të përkufizohen si zgjidhje të ekuacioneve diferenciale : Sinusi dhe kosinusi hiperbolik janë zgjidhja $(s,c)$ e sistemit.$$\begin{array}{cc}{c}^{\prime }(x)& =s(x),\\ s^{\prime }(x)& =c(x),\\ \end{array}$$me kushtet fillestare $s(0)=0,c(0)=1.$ Kushtet fillestare e bëjnë zgjidhjen unike; pa to çdo çift funksionesh $(a{e}^x+b{e}^{-x},a{e}^x-b{e}^{-x})$ do të ishte një zgjidhje.

$\sinh (x)$ dhe $\cosh (x)$ janë gjithashtu zgjidhja unike e ekuacionit $f^{″}(x)=f(x)$, e tillë që $f(0)=1,f^{\prime }(0)=1$ për kosinusin hiperbolik dhe $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$ për sinusin hiperbolik.

Përkufizimet komplekse trigonometrike

Funksionet hiperbolike mund të nxirren gjithashtu nga funksionet trigonometrike me argumente komplekse :

• Sinusi hiperbolik: $$\sinh x=-i\sin (ix).$$
• Kosinusi hiperbolik: $$\cosh x=\cos (ix).$$
• Tangjenti hiperbolik: $$\tanh x=-i\tan (ix).$$
• Kotangjenti hiperbolik: $$\coth x=i\cot (ix).$$
• Sekanti hiperbolik: $$\mathrm{sech}x=\sec (ix).$$
• Kosekanti hiperbolik: $$\mathrm{csch}x=i\csc (ix).$$

ku $i$ është njësia imagjinare me $i^2=-1$ .

Vetitë karakterizuese

Kosinusi hiperbolik

Mund të tregohet se zona nën lakoren e kosinusit hiperbolik (mbi një interval të fundëm) është gjithmonë e barabartë me gjatësinë e harkut që i korrespondon atij intervali: $$\text{area}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cosh xdx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{(\frac{d}{dx}\cosh x)}^2}dx=\text{arc length.}$$

Tangjenti hiperbolik

Tangjenti hiperbolik është zgjidhja (unike) e ekuacionit diferencial $f^{\prime }=1-f^2$, me $f(0)=0$ .

Marrëdhënie të dobishme

Funksionet hiperbolike kënaqin shumë identitete, të gjitha të ngjashme në formë me identitetet trigonometrike . Në fakt, rregulli i Osbornit thotë se mund të konvertohet çdo identitet trigonometrik për $\theta$, $2\theta$, $3\theta$ ose $\theta$ dhe $\phi$ në një identitet hiperbolik, duke e zgjeruar plotësisht në termat e fuqive integrale të sinuseve dhe kosinuseve, duke ndryshuar sinusin në sinh dhe kosinusin në cosh dhe duke ndryshuar shenjën e çdo termi që përmban një produkt prej dy funksionesh sinh.

Funksionet tek dhe çift:$$\begin{array}{cc}\sinh (-x)& =-\sinh x\\ \cosh (-x)& =\cosh x\end{array}$$Prandaj:$$\begin{array}{cc}\tanh (-x)& =-\tanh x\\ \coth (-x)& =-\coth x\\ \mathrm{sech}(-x)& =\mathrm{sech}x\\ \mathrm{csch}(-x)& =-\mathrm{csch}x\end{array}$$Kështu, $\cosh x$ dhe $\text{sech}(x)$ janë funksione çift ; të tjerët janë funksione tek .$$\begin{array}{cc}\mathrm{arsech}x& =\mathrm{arcosh}\left(\frac{1}{x}\right)\\ \mathrm{arcsch}x& =\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{x}\right)\\ \mathrm{arcoth}x& =\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{x}\right)\end{array}$$Sinusi dhe kosinusi hiperbolik kënaqin:$$\begin{array}{cc}\cosh x+\sinh x& =e^x\\ \cosh x-\sinh x& =e^{-x}\\ {\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x& =1\end{array}$$e fundit prej të cilave është e ngjashme me identitetin trigonometrik të Pitagorës .

Shumat e argumenteve

$$\begin{array}{cc}\sinh (x+y)& =\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\ \cosh (x+y)& =\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\ [6px]\tanh (x+y)& =\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}\\ \end{array}$$veçanërisht$$\begin{array}{cc}\cosh (2x)& ={\sinh }^{2}x+{\cosh }^{2}x=2{\sinh }^{2}x+1=2{\cosh }^{2}x-1\\ \sinh (2x)& =2\sinh x\cosh x\\ \tanh (2x)& =\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}\\ \end{array}$$Gjithashtu:$$\begin{array}{cc}\sinh x+\sinh y& =2\sinh \left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x+\cosh y& =2\cosh \left(\frac{x+y}{2}\right)\cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{array}$$

Formulat e zbritjes

$$\begin{array}{cc}\sinh (x-y)& =\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\ \cosh (x-y)& =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\ \tanh (x-y)& =\frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}\\ \end{array}$$Gjithashtu: $$\begin{array}{cc}\sinh x-\sinh y& =2\cosh \left(\frac{x+y}{2}\right)\sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \cosh x-\cosh y& =2\sinh \left(\frac{x+y}{2}\right)\sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\ \end{array}$$

Formulat e gjysëm këndit

$$\begin{array}{cccc}\sinh \left(\frac{x}{2}\right)& =\frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x+1)}}& & =\mathrm{sgn}x\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}\\ [6px]\cosh \left(\frac{x}{2}\right)& =\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}}\\ [6px]\tanh \left(\frac{x}{2}\right)& =\frac{\sinh x}{\cosh x+1}& & =\mathrm{sgn}x\sqrt{\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}}=\frac{e^x-1}{e^x+1}\end{array}$$ku $\mathrm{sgn}$ është funksioni i shenjës .

Nëse $x\ne 0$, atëherë $$\tanh \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\coth x-\mathrm{csch}x$$

Formulat e linearizimit

$$\begin{array}{cc}{\sinh }^{2}x& =\frac{1}{2}(\cosh 2x-1)\\ {\cosh }^{2}x& =\frac{1}{2}(\cosh 2x+1)\end{array}$$

Mosbarazimet

Mosbarazimi i mëposhtëm është i dobishëm në statistikë: $\cosh (t)\le e^{t^2/2}$

Funksionet e anasjellta si logaritme

$$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})\\ \mathrm{arcosh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1})& & x\ge 1\\ \mathrm{artanh}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)& & |x|<1\\ \mathrm{arcoth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)& & |x|>1\\ \mathrm{arsech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1})=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)& & 0<x\le 1\\ \mathrm{arcsch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})& & x\ne 0\end{array}$$

Derivatet

$$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\sinh x& =\cosh x\\ \frac{d}{dx}\cosh x& =\sinh x\\ \frac{d}{dx}\tanh x& =1-{\tanh }^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}\\ \frac{d}{dx}\coth x& =1-{\coth }^{2}x=-{\mathrm{csch}}^{2}x=-\frac{1}{{\sinh }^{2}x}& & x\ne 0\\ \frac{d}{dx}\mathrm{sech}x& =-\tanh x\mathrm{sech}x\\ \frac{d}{dx}\mathrm{csch}x& =-\coth x\mathrm{csch}x& & x\ne 0\end{array}$$$$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}& & 1<x\\ \frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x& =\frac{1}{1-x^2}& & |x|<1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x& =\frac{1}{1-x^2}& & 1<|x|\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}& & 0<x<1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}& & x\ne 0\end{array}$$

Derivatet e dyta

Secili prej funksioneve $\sinh$ dhe $\cosh$ është i barabartë me derivatin e tij të dytë, që është:$$\frac{d^2}{d{x}^2}\sinh x=\sinh x$$$$\frac{d^2}{d{x}^2}\cosh x=\cosh x.$$

Integrale standarde

$$\begin{array}{cc}\int \sinh (ax)dx& =a^{-1}\cosh (ax)+C\\ \int \cosh (ax)dx& =a^{-1}\sinh (ax)+C\\ \int \tanh (ax)dx& =a^{-1}\ln (\cosh (ax))+C\\ \int \coth (ax)dx& =a^{-1}\ln |\sinh (ax)|+C\\ \int \mathrm{sech}(ax)dx& =a^{-1}\arctan (\sinh (ax))+C\\ \int \mathrm{csch}(ax)dx& =a^{-1}\ln |\tanh \left(\frac{ax}{2}\right)|+C=a^{-1}\ln |\coth \left(ax\right)-\mathrm{csch}\left(ax\right)|+C=-a^{-1}\mathrm{arcoth}(\cosh \left(ax\right))+C\end{array}$$Integralet e mëposhtme mund të vërtetohen duke përdorur zëvendësimin hiperbolik :$$\begin{array}{cc}\int \frac{1}{\sqrt{a^2+u^2}}du& =\mathrm{arsinh}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{u^2-a^2}}du& =\mathrm{sgn}u\mathrm{arcosh}\left|\frac{u}{a}\right|+C\\ \int \frac{1}{a^2-u^2}du& =a^{-1}\mathrm{artanh}\left(\frac{u}{a}\right)+C& & u^2<a^2\\ \int \frac{1}{a^2-u^2}du& =a^{-1}\mathrm{arcoth}\left(\frac{u}{a}\right)+C& & u^2>a^2\\ \int \frac{1}{u\sqrt{a^2-u^2}}du& =-a^{-1}\mathrm{arsech}\left|\frac{u}{a}\right|+C\\ \int \frac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du& =-a^{-1}\mathrm{arcsch}\left|\frac{u}{a}\right|+C\end{array}$$ku C është konstantja e integrimit .

Seritë e Tejlorit

Është e mundur të shprehet në mënyrë eksplicite seria Taylor në zero (ose seria Laurent, nëse funksioni nuk është i përcaktuar në zero) e funksioneve të mësipërme.$$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të $x$ . Meqenëse funksioni $\sinh x$ është tek, vetëm eksponentët tek për $x$ hasen në serinë e tij Tejlor.$$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të $x$ . Meqenëse funksioni $\cosh x$ është çift, vetëm eksponentët çift për $x$ gjenden në serinë e tij Tejlor.

Seritë e mëposhtme pasohen nga një përshkrim i një nëngrupi të domenit të tyre të konvergjencës, ku seria është konvergjente dhe shuma e saj është e barabartë me funksionin.$$\begin{array}{cc}\tanh x& =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \coth x& =x^{-1}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \\ \mathrm{sech}x& =1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{csch}x& =x^{-1}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \end{array}$$ku:

• $B_n$ është numri n i Bernulit
• $E_n$ është numri n i Euler-it

Prodhimet e pafundme dhe thyesat e vazhdueshme

Zgjerimet e mëposhtme janë të vlefshme në të gjithë planin kompleks:

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})=\frac{x}{1-\frac{x^2}{2\cdot 3+x^2-\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5+x^2-\frac{4\cdot 5x^2}{6\cdot 7+x^2-\ddots }}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{(n-1/2{)}^2{\pi }^2})=\frac{1}{1-\frac{x^2}{1\cdot 2+x^2-\frac{1\cdot 2x^2}{3\cdot 4+x^2-\frac{3\cdot 4x^2}{5\cdot 6+x^2-\ddots }}}}$

$\tanh x=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{3}{x}+\frac{1}{\frac{5}{x}+\frac{1}{\frac{7}{x}+\ddots }}}}$

Krahasimi me funksionet rrethore

Rrethi dhe tangjenta e hiperbolës në (1,1) shfaqin gjeometrinë e funksioneve rrethore në terma të sipërfaqes së sektorit rrethor $u$ dhe funksioneve hiperbolike në varësi të zonës së sektorit hiperbolik $u$ .

Funksionet hiperbolike paraqesin një zgjerim të trigonometrisë përtej funksioneve rrethore . Të dy llojet varen nga një argument, qoftë kënd rrethor ose kënd hiperbolik .

Meqenëse sipërfaqja e një sektori rrethor me rreze r dhe kënd u (në radianë) është $r^{2}u/2$, do të jetë e barabartë me $u$ kur $r=\sqrt{2}$ . Në diagram, një rreth i tillë është tangjent me hiperbolën $xy=1$ në $(1,1)$. Sektori i verdhë përshkruan një sipërfaqe dhe madhësi këndi. Në mënyrë të ngjashme, sektorët e verdhë dhe të kuq së bashku përshkruajnë një sipërfaqe dhe madhësinë e këndit hiperbolik .

Këmbët e dy trekëndëshave kënddrejtë me hipotenuzë në rrezen që përcakton këndet janë me gjatësi √ 2 herë më shumë se funksionet rrethore dhe hiperbolike.

Këndi hiperbolik është një masë e pandryshueshme në lidhje me hartëzimin e shtrydhjes, ashtu si këndi rrethor është i pandryshueshëm nën rrotullim.

Grafiku i funksionit a cosh( x / a ) është katenarie, kurba e formuar nga një zinxhir fleksibël i njëtrajtshëm, i varur lirshëm midis dy pikave fikse nën gravitetin e njëtrajtshëm.

Funksionet hiperbolike për numrat kompleks

Funksionet hiperbolike në rrafshin kompleks

$\sinh (z)$	$\cosh (z)$	$\tanh (z)$	$\coth (z)$	$\mathrm{sech}(z)$	$\mathrm{csch}(z)$

Meqenëse funksioni eksponencial mund të përcaktohet për çdo argument kompleks, ne gjithashtu mund të zgjerojmë përkufizimet e funksioneve hiperbolike në argumente komplekse. Funksionet $\sinh z$ dhe $\cosh z$ janë holomorfikë .

Marrëdhëniet me funksionet e zakonshme trigonometrike jepen nga formula e Euler-it për numrat kompleks:$$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}& =\cos x-i\sin x\end{array}$$kështu që:$$\begin{array}{cc}\cosh (ix)& =\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x\\ \sinh (ix)& =\frac{1}{2}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x\\ \cosh (x+iy)& =\cosh (x)\cos (y)+i\sinh (x)\sin (y)\\ \sinh (x+iy)& =\sinh (x)\cos (y)+i\cosh (x)\sin (y)\\ \tanh (ix)& =i\tan x\\ \cosh x& =\cos (ix)\\ \sinh x& =-i\sin (ix)\\ \tanh x& =-i\tan (ix)\end{array}$$Kështu, funksionet hiperbolike janë periodike në lidhje me përbërësin imagjinar, me periodë $2\pi i$ ( $\pi i$ për tangjentin hiperbolik dhe kotangjentin).

Shiko gjithashtu

• e (konstante matematikore)
• Teorema e rretheve të barabarta, bazuar në sinh
• Rritja hiperbolike
• Funksionet hiperbolike të anasjellta
• Lista e integraleve të funksioneve hiperbolike
• Spiralet e Poinsot
• Funksioni sigmoid
• Tangjenti hiperbolik i Sobolevës
• Funksionet trigonometrike