Lemniskata e Bernulit

Një lemniskatë e Bernulit dhe dy vatrat e tij $F_1$ dhe $F_2$

Lemniskata e Bernulit është kurba e pedalit të një hiperbole drejtkëndore

Spiralet sinusoidale $r^n=-1^n\cos (n\theta ),\theta =\pi /2$ në koordinata polare dhe të njëvlershmet në koordinata drejtkëndore

Në gjeometri, lemniskata e Bernulit është një kurbë e rrafshët e përcaktuar nga dy pika të dhëna Stampa:Math dhe Stampa:Math, të njohura si vatra, në largësi Stampa:Math nga njëra tjetra si vendndodhja e pikave Stampa:Math të tilla që Stampa:Math . Kurba ka një formë të ngjashme me numrin 8 dhe me simbolin ∞ . Emri i saj vjen nga lemniscatus, që latinisht do të thotë "të zbukuruar me shirita të varur". Është një rast i veçantë i ovalit Cassini dhe është një kurbë racionale algjebrike e shkallës 4.

Kjp lemniskatë u përshkrua për herë të parë në 1694 nga Jakob Bernoulli si një modifikim i një elipsi, i cili është vendndodhja e pikave për të cilat shuma e largësive në secilën prej dy pikave vatrore fikse është një konstante . Një ovale Cassini, përkundrazi, është vendndodhja e pikave për të cilat prodhimi i këtyre largësive është konstant. Në rastin kur kurba kalon përmes pikës në mes të vatrave, ovali është një lemniskatë e Bernulit.

Ekuacionet

Ekuacionet mund të shprehen në terma të largësisë vatrore Stampa:Mvar ose gjysmës së gjerësisë Stampa:Mvar të një lemniskate. Këta parametra lidhen si $a=c\sqrt{2}$.

• Ekuacioni i saj kartezian është (deri në përkthim dhe rrotullim):

  $\begin{array}{cc}{(x^2+y^2)}^2& =a^2(x^2-y^2)\\ & =2c^2(x^2-y^2)\end{array}$

• Si një ekuacion parametrik :

  $x=\frac{a\cos t}{1+{\sin }^{2}t};y=\frac{a\sin t\cos t}{1+{\sin }^{2}t}$

• Një parametrizim racional:

  $x=a\frac{t+t^3}{1+t^4};y=a\frac{t-t^3}{1+t^4}$

• Në koordinata polare :

  $r^2=a^2\cos 2\theta$

• Ekuacioni i saj në planin kompleks është:

  $|z-c||z+c|=c^2$

• Në koordinatat bipolare me dy qendra :

  $r{r}^{\prime }=c^2$

• Në koordinatat racionale polare :

  $Q=2s-1$

Gjatësia e harkut dhe funksionet eliptike

Sinusi dhe kosinusi i leminiskatës lidhin gjatësinë e harkut të një harku të leminiskatës me largësinë e një pike fundore nga origjina.

Përcaktimi i gjatësisë së harkut të harqeve të leminiskatës çon në integrale eliptike, siç u zbulua në shekullin e XVIII. Rreth vitit 1800, funksionet eliptike që përmbysin ato integrale u studiuan nga CF Gauss (kryesisht i pabotuar në atë kohë, por aludime në shënimet e tij Disquisitiones Arithmeticae ).

Përdorimi i integralit eliptik

$\mathrm{arcsl}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$

formula e gjatësisë së harkut Stampa:Mvar mund të jepet si

$\begin{array}{cc}L& =4\sqrt{2}c\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=4\sqrt{2}c\mathrm{arcsl}1\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4{)}^2}{\sqrt{\pi }}c=\frac{2\pi }{\mathrm{M}(1,1/\sqrt{2})}c\approx 7.416\cdot c\end{array}$

ku $\mathrm{\Gamma }$ është funksioni gama dhe $\mathrm{M}$ është mesatarja aritmetike-gjeometrike .

Këndet

Duke pasur parasysh dy pika të dallueshme $\mathrm{A}$ dhe $\mathrm{B}$, le të jetë $\mathrm{M}$ mesi i $\mathrm{A}\mathrm{B}$ . Pastaj leminiskata e diametrit $\mathrm{A}\mathrm{B}$ mund të përkufizohet edhe si bashkësia e pikave $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{M}$, së bashku me vendndodhjen e pikave $\mathrm{P}$ sikurse $|\widehat{\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{M}}-\widehat{\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{M}}|$ është një kënd i drejtë (krh. Teorema e Talesit dhe e anasjellta e saj).

lidhja ndërmjet këndeve në leminiskatën e Bernulit

Veti të tjera

Përmbysja e hiperbolës jep një leminiskatë

• Lemniskata është simetrike me vijën që lidh vatrat e saj Stampa:Math dhe Stampa:Math dhe gjithashtu me përgjysmuesin pingul të segmentit të drejtëzës Stampa:Math.
• Lemniskata është simetrike me pikën e mesit të segmentit të drejtëzës Stampa:Math.
• Zona e mbyllur nga lemniskata është Stampa:Math.
• Lemniskata është e anasjellta rrethore e një hiperbole dhe anasjelltas.
• Dy tangjentet në pikën e mesit O janë pingul dhe secila prej tyre formon një kënd prej $\pi /4$ me linjën që lidh Stampa:Math dhe Stampa:Math .
• Kurbatura në $(x,y)$ është $\frac{3}{a^2}\sqrt{x^2+y^2}$. Kurbatura maksimale që arrihet në $(\pm a,0)$ është $3/a$.