Matrica e njësheve

Në matematikë, një matricë e njësheve është një matricë ku çdo element është i barabartë me një . Shembuj të shënimeve standarde janë dhënë më poshtë:

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right);J_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right).$

Disa burime e quajnë matricën me të gjitha njësha matrica njësi, por ky term mund t'i referohet gjithashtu matricës së identitetit, një lloj tjetër matrice.

Vetitë

Për një matricë njëshesh $n\times n$ të shënuar me $\mathrm{J}$, vlejnë vetitë e mëposhtme:

• Gjurma e $J$ është e barabartë me $n$, dhe përcaktori është e barabartë me 0 për $n\ge 2$, por është e barabartë me 1 nëse n = 1. Stampa:Efn
• Polinomi karakteristik i $J$ është $(x-n)x^{n-1}$ .
• Polinomi minimal i $J$ është $x^2-nx$ .
• Rangu i $J$ është 1 dhe eigenvlerat janë $n$ me shumësi 1 dhe 0 me shumësi $n-1$ .
• $J^k=n^{k-1}J$ për $k=1,2,\dots .$
• $J$ është elementi neutral i produktit Hadamard .

Kur $J$ konsiderohet si një matricë mbi numrat realë, qëndrojnë vetitë e mëposhtme shtesë:

• J është matricë gjysëm e përcaktuar pozitive .
• Matrica $\frac{1}{n}J$ është idempotente .
• Eksponenciali i matricës së J është $e^J=I+\frac{e^n-1}{n}J.$